Questão 56 da FUVEST 2022

Question

O canhão de Newton, esquematizado na figura, é um experimento mental imaginado por Isaac Newton para mostrar que sua lei da gravitação era universal. Disparando o canhão horizontalmente do alto de uma montanha, a bala cairia na Terra em virtude da força da gravidade. Com uma maior velocidade inicial, a bala iria mais longe antes de retornar à Terra. Com a velocidade certa, o projétil daria uma volta completa em torno da Terra, sempre “caindo” sob ação da gravidade, mas nunca alcançando a Terra. Newton concluiu que esse movimento orbital seria da mesma natureza do movimento da Lua em torno da Terra.

Esquema do canhão de Newton sobre o globo terrestre disparando projéteis com trajetórias curvas pontilhadas que caem na Terra e uma trajetória circular contínua fechada ao redor do planeta.

Qual deveria ser a velocidade inicial de um projétil lançado horizontalmente do alto do Everest (a uma distância aproximada de 6.400\text{ km} do centro da Terra) para colocá-lo em órbita em torno da Terra?

A
8\text{ km/s}
B
11{,}2\text{ km/s}
C
80\text{ km/s}
D
112\text{ km/s}
E
8.000\text{ km/s}

Note e adote:
Despreze a resistência do ar.
Aceleração da gravidade: g = 10\text{ m/s}^2.

Answer 1

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Questão 56 da FUVEST 2022

1ª fase · Física: Gravitação universal e satélites

O canhão de Newton, esquematizado na figura, é um experimento mental imaginado por Isaac Newton para mostrar que sua lei da gravitação era universal. Disparando o canhão horizontalmente do alto de uma montanha, a bala cairia na Terra em virtude da força da gravidade. Com uma maior velocidade inicial, a bala iria mais longe antes de retornar à Terra. Com a velocidade certa, o projétil daria uma volta completa em torno da Terra, sempre “caindo” sob ação da gravidade, mas nunca alcançando a Terra. Newton concluiu que esse movimento orbital seria da mesma natureza do movimento da Lua em torno da Terra.

Esquema do canhão de Newton sobre o globo terrestre disparando projéteis com trajetórias curvas pontilhadas que caem na Terra e uma trajetória circular contínua fechada ao redor do planeta.

Qual deveria ser a velocidade inicial de um projétil lançado horizontalmente do alto do Everest (a uma distância aproximada de 6.400\text{ km} do centro da Terra) para colocá-lo em órbita em torno da Terra?

A
8\text{ km/s}
B
11{,}2\text{ km/s}
C
80\text{ km/s}
D
112\text{ km/s}
E
8.000\text{ km/s}

Note e adote:
Despreze a resistência do ar.
Aceleração da gravidade: g = 10\text{ m/s}^2.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Para o projétil ficar em órbita circular, a força gravitacional deve fazer o papel de força centrípeta. Ele "cai" o tempo todo, mas a curvatura da trajetória acompanha a curvatura da Terra.

Na órbita circular de raio R, a aceleração centrípeta é a própria aceleração da gravidade g naquele ponto. O enunciado manda usar g = 10\ \text{m/s}^2 e R = 6.400\ \text{km} (distância ao centro da Terra).

Condição de órbita:
\frac{v^2}{R} = g
Isolando a velocidade:
v = \sqrt{gR}
Convertendo o raio para metros: R = 6.400\ \text{km} = 6{,}4\times 10^6\ \text{m}.
Substituindo:
v = \sqrt{10 \cdot 6{,}4\times 10^6} = \sqrt{64\times 10^6} = 8\times 10^3\ \text{m/s}
Em km/s: v = 8\ \text{km/s}.

Esse valor é a chamada primeira velocidade cósmica. Os 11{,}2\ \text{km/s} da alternativa B são a velocidade de escape, necessária para sair da Terra de vez, e não para orbitá-la.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana quem lembra de 11{,}2\ \text{km/s} como velocidade famosa, mas ela é a de escape, não a orbital.

Por que as outras alternativas estão erradas

BÉ a velocidade de escape da Terra, que faz o projétil abandonar o planeta em vez de orbitá-lo.
CErro de potência de dez: 80\ \text{km/s} não sai de \sqrt{gR}.
DValor 10 vezes maior que a velocidade de escape, sem base no cálculo.
EConfunde o raio em km com a velocidade, sem extrair a raiz de gR.

Assuntos: Gravitação universal e satélites, Movimento circular uniforme e transmissão de movimento.

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