Questão 76 da FUVEST 2020

Question

No dia 10 de abril de 2019, a equipe do Event Horizon Telescope (EHT, “Telescópio Horizonte de Eventos”) divulgou a primeira imagem de um buraco negro, localizado no centro da galáxia M87, obtida por um conjunto de telescópios com diâmetro efetivo equivalente ao da Terra, de 12.700 km. Devido ao fenômeno físico da difração, instrumentos óticos possuem um limite de resolução angular, que corresponde à mínima separação angular entre dois objetos que podem ser identificados separadamente quando observados à distância. O gráfico mostra o limite de resolução de um telescópio, medido em radianos, como função do seu diâmetro, para ondas luminosas de comprimento de onda de 1,3 mm, igual ao daquelas captadas pelo EHT. Note a escala logarítmica dos eixos do gráfico.

Gráfico em escala logarítmica relacionando a resolução angular em radianos (eixo vertical, de 1x10⁻¹⁴ a 1x10⁻⁶) ao diâmetro efetivo do telescópio em km (eixo horizontal, de 10² a 10⁷). O gráfico exibe uma reta decrescente que passa por pontos como (10², 1x10⁻⁸), (10⁴, 1x10⁻¹⁰) e (10⁶, 1x10⁻¹²).

Sabe-se que o tamanho equivalente a um pixel na foto do buraco negro corresponde ao valor da menor distância entre dois objetos naquela galáxia para que eles possam ser identificados separadamente pelo EHT. Com base nas informações anteriores e na análise do gráfico, e sabendo que a distância da Terra até a galáxia M87 é de 5 \times 10^{20}\text{ km}, indique o valor mais próximo do tamanho do pixel.

A
5 \times 10^1\text{ km}
B
5 \times 10^4\text{ km}
C
5 \times 10^7\text{ km}
D
5 \times 10^{10}\text{ km}
E
5 \times 10^{13}\text{ km}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 76 da FUVEST 2020

1ª fase · Física: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização

No dia 10 de abril de 2019, a equipe do Event Horizon Telescope (EHT, “Telescópio Horizonte de Eventos”) divulgou a primeira imagem de um buraco negro, localizado no centro da galáxia M87, obtida por um conjunto de telescópios com diâmetro efetivo equivalente ao da Terra, de 12.700 km. Devido ao fenômeno físico da difração, instrumentos óticos possuem um limite de resolução angular, que corresponde à mínima separação angular entre dois objetos que podem ser identificados separadamente quando observados à distância. O gráfico mostra o limite de resolução de um telescópio, medido em radianos, como função do seu diâmetro, para ondas luminosas de comprimento de onda de 1,3 mm, igual ao daquelas captadas pelo EHT. Note a escala logarítmica dos eixos do gráfico.

Gráfico em escala logarítmica relacionando a resolução angular em radianos (eixo vertical, de 1x10⁻¹⁴ a 1x10⁻⁶) ao diâmetro efetivo do telescópio em km (eixo horizontal, de 10² a 10⁷). O gráfico exibe uma reta decrescente que passa por pontos como (10², 1x10⁻⁸), (10⁴, 1x10⁻¹⁰) e (10⁶, 1x10⁻¹²).

Sabe-se que o tamanho equivalente a um pixel na foto do buraco negro corresponde ao valor da menor distância entre dois objetos naquela galáxia para que eles possam ser identificados separadamente pelo EHT. Com base nas informações anteriores e na análise do gráfico, e sabendo que a distância da Terra até a galáxia M87 é de 5 \times 10^{20}\text{ km}, indique o valor mais próximo do tamanho do pixel.

A
5 \times 10^1\text{ km}
B
5 \times 10^4\text{ km}
C
5 \times 10^7\text{ km}
D
5 \times 10^{10}\text{ km}
E
5 \times 10^{13}\text{ km}

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Resolução comentada

A resolução angular \theta (em radianos) é o ângulo mínimo entre dois objetos distinguíveis. Para ângulos pequenos, \theta = \dfrac{d}{D}, em que d é a menor distância entre os objetos e D é a distância até eles. Logo, d = \theta \cdot D.

Primeiro, leia o gráfico para 12.700\ \text{km} \approx 10^4\ \text{km}. Os dois eixos são logarítmicos, então cada linha da grade vale uma potência de 10.

Em 10^4\ \text{km}, a reta passa um pouco acima de 10^{-10}, cerca de 2\times10^{-10} rad. Como 12.700 é um pouco maior que 10^4, o valor fica em torno de 1{,}5\times10^{-10} rad. Usamos \theta \approx 10^{-10} rad, que dá a ordem de grandeza.
Distância até M87: D = 5\times10^{20}\ \text{km}.
Cálculo do tamanho do pixel:

d = \theta\cdot D \approx 10^{-10}\cdot 5\times10^{20} = 5\times10^{10}\ \text{km}

Com 1{,}5\times10^{-10} rad o resultado seria 7{,}5\times10^{10}\ \text{km}. Isso também está na ordem de 10^{10}, e a alternativa mais próxima é a de 5\times10^{10}\ \text{km}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AOrdem de grandeza muito pequena; não multiplica a resolução angular pela distância de 5\times10^{20} km.
BErra a leitura do expoente, como se a resolução fosse cerca de 10^{-16} rad.
CCorresponde a \theta\approx10^{-13} rad, valor que o gráfico não dá para 12.700 km.
ECorresponde a \theta\approx10^{-7} rad, que seria a resolução de um telescópio bem menor.

Assunto: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização.

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