Questão 71 da FUVEST 2020

Question

A transmissão de dados de telefonia celular por meio de ondas eletromagnéticas está sujeita a perdas que aumentam com a distância d entre a antena transmissora e a antena receptora. Uma aproximação frequentemente usada para expressar a perda L, em decibéis (dB), do sinal em função de d, no espaço livre de obstáculos, é dada pela expressão

L = 20 \text{log}_{10} \bigg(\frac{4\pi d}{\lambda}\bigg),

em que \lambda é o comprimento de onda do sinal. O gráfico a seguir mostra L (em dB) versus d (em metros) para um determinado comprimento de onda \lambda.

Gráfico de L (dB) no eixo vertical variando de 25 a 60 versus d (m) no eixo horizontal variando de 0 a 10, com curva logarítmica passando pelos pontos aproximados (1, 40) e (10, 60).

Com base no gráfico, a frequência do sinal é aproximadamente

A
2,5 GHz.
B
5 GHz.
C
12 GHz.
D
40 GHz.
E
100 GHz.

Note e adote:
Velocidade da luz no vácuo: \text{c} = 3\times 10^8\text{ m/s}; \pi \cong 3; 1\text{ GHz} = 10^9\text{ Hz}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 71 da FUVEST 2020

1ª fase · Física: Ondas eletromagnéticas e espectro

A transmissão de dados de telefonia celular por meio de ondas eletromagnéticas está sujeita a perdas que aumentam com a distância d entre a antena transmissora e a antena receptora. Uma aproximação frequentemente usada para expressar a perda L, em decibéis (dB), do sinal em função de d, no espaço livre de obstáculos, é dada pela expressão

L = 20 \text{log}_{10} \bigg(\frac{4\pi d}{\lambda}\bigg),

em que \lambda é o comprimento de onda do sinal. O gráfico a seguir mostra L (em dB) versus d (em metros) para um determinado comprimento de onda \lambda.

Gráfico de L (dB) no eixo vertical variando de 25 a 60 versus d (m) no eixo horizontal variando de 0 a 10, com curva logarítmica passando pelos pontos aproximados (1, 40) e (10, 60).

Com base no gráfico, a frequência do sinal é aproximadamente

A
2,5 GHz.
B
5 GHz.
C
12 GHz.
D
40 GHz.
E
100 GHz.

Note e adote:
Velocidade da luz no vácuo: \text{c} = 3\times 10^8\text{ m/s}; \pi \cong 3; 1\text{ GHz} = 10^9\text{ Hz}.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

A perda L depende de d e de \lambda. Se lermos um ponto do gráfico, conseguimos isolar \lambda e depois calcular a frequência com c = \lambda f.

Pelo gráfico, em d = 1\ \text{m} temos L = 40\ \text{dB}.

Substituímos na expressão: 40 = 20\,\log_{10}\left(\dfrac{4\pi \cdot 1}{\lambda}\right).
Dividimos por 20: \log_{10}\left(\dfrac{4\pi}{\lambda}\right) = 2.
Pela definição de logaritmo: \dfrac{4\pi}{\lambda} = 10^2 = 100.
Com \pi \cong 3: \lambda = \dfrac{12}{100} = 0{,}12\ \text{m}.
Frequência: f = \dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{3\times 10^8}{0{,}12} = 2{,}5\times 10^9\ \text{Hz} = 2{,}5\ \text{GHz}.

Conferência com o outro ponto: em d = 10\ \text{m}, \dfrac{4\pi d}{\lambda} = \dfrac{120}{0{,}12} = 1000, e 20\log_{10}(1000) = 60\ \text{dB}, que bate com o gráfico.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BResulta de um erro de cálculo ao isolar \lambda, por exemplo usar \lambda = 0{,}06\ \text{m}; não decorre da leitura L=40 dB em d=1 m.
CNão corresponde a nenhuma leitura correta do gráfico; vem de uma conta errada com 4\pi e a potência de 10.
DSeria obtida ao esquecer o fator 4\pi e usar \lambda = 0{,}0075\ \text{m}, sem relação com os dados.
EConfunde o valor 100 de 4\pi/\lambda com a frequência em GHz.

Assunto: Ondas eletromagnéticas e espectro.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova