Questão 69 da FUVEST 2020

Question

Em julho de 1969, os astronautas Neil Armstrong e Buzz Aldrin fizeram o primeiro pouso tripulado na superfície da Lua, enquanto seu colega Michael Collins permaneceu a bordo do módulo de comando Columbia em órbita lunar. Considerando que o Columbia estivesse em uma órbita perfeitamente circular a uma altitude de 260 km acima da superfície da Lua, o tempo decorrido (em horas terrestres - h) entre duas passagens do Columbia exatamente acima do mesmo ponto da superfície lunar seria de

A
0,5 h.
B
2 h.
C
4 h.
D
8 h.
E
72 h.

Note e adote:
Constante gravitacional: \text{G} \cong 9 \times 10^{-13}\text{ km}^3/(\text{kg h}^2); Raio da Lua = 1.740\text{ km}; Massa da Lua \cong 8 \times 10^{22}\text{ kg}; \pi \cong 3.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 69 da FUVEST 2020

1ª fase · Física: Gravitação universal e satélites

Em julho de 1969, os astronautas Neil Armstrong e Buzz Aldrin fizeram o primeiro pouso tripulado na superfície da Lua, enquanto seu colega Michael Collins permaneceu a bordo do módulo de comando Columbia em órbita lunar. Considerando que o Columbia estivesse em uma órbita perfeitamente circular a uma altitude de 260 km acima da superfície da Lua, o tempo decorrido (em horas terrestres - h) entre duas passagens do Columbia exatamente acima do mesmo ponto da superfície lunar seria de

A
0,5 h.
B
2 h.
C
4 h.
D
8 h.
E
72 h.

Note e adote:
Constante gravitacional: \text{G} \cong 9 \times 10^{-13}\text{ km}^3/(\text{kg h}^2); Raio da Lua = 1.740\text{ km}; Massa da Lua \cong 8 \times 10^{22}\text{ kg}; \pi \cong 3.

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Resolução comentada

O Columbia está em órbita circular, então a gravitação da Lua faz o papel de força centrípeta. Isso leva à terceira lei de Kepler: T^2 = \dfrac{4\pi^2 r^3}{GM}, em que r é o raio da órbita, medido a partir do centro da Lua.

O tempo entre duas passagens sobre o mesmo ponto da superfície é o período orbital, desde que se despreze a rotação da Lua (o enunciado pede uma resposta aproximada, e o período de rotação lunar, de cerca de 27 dias, é muito maior que o da órbita).

Raio da órbita: r = 1\,740 + 260 = 2\,000\ \text{km} = 2\times10^3\ \text{km}.
Cubo do raio: r^3 = 8\times10^9\ \text{km}^3.
Produto GM: 9\times10^{-13}\times 8\times10^{22} = 72\times10^{9} = 7{,}2\times10^{10}\ \text{km}^3/\text{h}^2.
Com \pi \cong 3: 4\pi^2 = 36.
Calculando:

T^2 = \frac{36\times 8\times10^{9}}{72\times10^{9}} = 4\ \text{h}^2

Logo T = 2\ \text{h}.

Alternativa B.

Pegadinha: Usar 260 km como raio da órbita, em vez de somar o raio da Lua (1 740 km), levaria a um valor errado; o raio deve ser medido a partir do centro da Lua.

Por que as outras alternativas estão erradas

AErro de conta na razão entre r^3 e GM; o período resultante é maior que 0,5 h.
CEsquece de extrair a raiz quadrada de T^2=4, ou erra o fator 4\pi^2.
DUsa o raio da órbita errado (por exemplo, só a altitude ou raio mal somado), resultando num período maior.
EConfunde com o tempo de rotação lunar ou erra as potências de dez; valor incompatível com a órbita de 2 000 km.

Assuntos: Gravitação universal e satélites, Leis de Kepler.

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