Questão 24 da FUVEST 2020

O enunciado diz: a distância de A a C é o dobro da distância de B a A, ou seja, AC = 2\cdot AB. Além disso, BC = 5. Como os pontos estão numa mesma reta, a ordem deles pode mudar, então é preciso testar cada posição possível.

Coloque C na origem e B em x=5 (ou -5, por simetria). Seja A na posição a. Então AC=|a| e AB=|a-5|, e a condição vira:

Há dois casos:

1. a = 2(a-5), o que dá a = 2a-10, logo a = 10. Então AC = 10 (A fica além de B, com B entre A e C).
2. a = -2(a-5), o que dá a = -2a+10, logo 3a=10 e a=\dfrac{10}{3}. Então AC=\dfrac{10}{3} (A fica entre C e B).

Conferindo: para a=10, AB=5 e AC=10=2\cdot 5. Para a=\frac{10}{3}, AB=5-\frac{10}{3}=\frac{5}{3} e AC=\frac{10}{3}=2\cdot\frac{5}{3}. Os dois valores servem.

O valor 5 não serve: se AC=5, então A=B e AB=0, mas 5\neq 0. O valor \frac{5}{3} é a distância AB, não a AC, que é o que se pede.

As soluções são \dfrac{10}{3} e 10.

Alternativa A.

Pegadinha: As alternativas C e D usam 5/3, que é a distância AB no caso em que A fica entre B e C, e não a distância AC pedida.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Binclui o valor 5, que exigiria A coincidir com B, e aí AB = 0, não 5/2.
• Cinclui 5/3, que é a distância AB no segundo caso, não AC.
• Dtroca 10/3 por 5/3, confundindo AB com AC, e mantém só o 10.
• Eomite a solução 10 e inclui 5, que não satisfaz a condição.

Assunto: Função modular.

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