Questão 59 da FUVEST 2017

Question

Objetos em queda sofrem os efeitos da resistência do ar, a qual exerce uma força que se opõe ao movimento desses objetos, de tal modo que, após um certo tempo, eles passam a se mover com velocidade constante. Para uma partícula de poeira no ar, caindo verticalmente, essa força pode ser aproximada por \vec{F}_a = - b\vec{v}, sendo \vec{v} a velocidade da partícula de poeira e b uma constante positiva. O gráfico mostra o comportamento do módulo da força resultante sobre a partícula, F_R, como função de v, o módulo de \vec{v}.

Gráfico cartesiano do módulo da força resultante F_R (em 10⁻¹⁴ N) em função do módulo da velocidade v (em 10⁻⁴ m/s), representado por uma reta decrescente que vai do ponto (0, 3) até (1, 0).

O valor da constante b, em unidades de \text{N}\cdot\text{s/m}, é

Note e adote:
O ar está em repouso.

A
1{,}0 \times 10^{-14}
B
1{,}5 \times 10^{-14}
C
3{,}0 \times 10^{-14}
D
1{,}0 \times 10^{-10}
E
3{,}0 \times 10^{-10}

Answer 1

Questão 59 da FUVEST 2017

1ª fase

Objetos em queda sofrem os efeitos da resistência do ar, a qual exerce uma força que se opõe ao movimento desses objetos, de tal modo que, após um certo tempo, eles passam a se mover com velocidade constante. Para uma partícula de poeira no ar, caindo verticalmente, essa força pode ser aproximada por \vec{F}_a = - b\vec{v}, sendo \vec{v} a velocidade da partícula de poeira e b uma constante positiva. O gráfico mostra o comportamento do módulo da força resultante sobre a partícula, F_R, como função de v, o módulo de \vec{v}.

Gráfico cartesiano do módulo da força resultante F_R (em 10⁻¹⁴ N) em função do módulo da velocidade v (em 10⁻⁴ m/s), representado por uma reta decrescente que vai do ponto (0, 3) até (1, 0).

O valor da constante b, em unidades de \text{N}\cdot\text{s/m}, é

Note e adote:
O ar está em repouso.

A
1{,}0 \times 10^{-14}
B
1{,}5 \times 10^{-14}
C
3{,}0 \times 10^{-14}
D
1{,}0 \times 10^{-10}
E
3{,}0 \times 10^{-10}

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Resolução comentada

A partícula sofre duas forças: o peso P, constante e para baixo, e a resistência do ar F_a = bv, para cima. Assim, o módulo da força resultante é:

F_R = P - bv

É uma função afim de v, e o gráfico é uma reta decrescente. O coeficiente angular da reta, em módulo, é a constante b.

Em v = 0, não há resistência do ar, então F_R = P = 3 \times 10^{-14}\ \text{N}.
Em v = 1 \times 10^{-4}\ \text{m/s}, F_R = 0. É a velocidade terminal, em que bv = P.
Da condição do item 2:

b = \frac{P}{v} = \frac{3 \times 10^{-14}}{1 \times 10^{-4}} = 3 \times 10^{-10}\ \text{N·s/m}

Conferindo pela inclinação da reta: \left|\dfrac{\Delta F_R}{\Delta v}\right| = \dfrac{3 \times 10^{-14} - 0}{1 \times 10^{-4} - 0} = 3 \times 10^{-10}. O resultado é o mesmo.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C engana quem lê 3\times10^{-14} direto do eixo vertical, esquecendo que b é a razão entre força e velocidade, com o expoente 10^{-4} do eixo horizontal.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa a razão 3/3 ou ignora a potência dos eixos, e ainda erra o expoente (−14 em vez de −10).
BDivide o peso por 2, sem nenhum significado físico no gráfico, e esquece o fator 10^{-4} da velocidade.
CToma o valor de F_R em v=0 como se fosse b, sem dividir pela velocidade.
DAcerta a potência de 10, mas usa o coeficiente 1 (valor da velocidade) em vez de 3.

Assuntos: força de resistência do ar, velocidade terminal, interpretação de gráfico.

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