Questão 61 da FUVEST 2015

Question

A notícia “Satélite brasileiro cai na Terra após lançamento falhar”, veiculada pelo jornal O Estado de S. Paulo de 10/12/2013, relata que o satélite CBERS-3, desenvolvido em parceria entre Brasil e China, foi lançado no espaço a uma altitude de 720 km (menor do que a planejada) e com uma velocidade abaixo da necessária para colocá-lo em órbita em torno da Terra. Para que o satélite pudesse ser colocado em órbita circular na altitude de 720 km, o módulo de sua velocidade (com direção tangente à órbita) deveria ser de, aproximadamente,

A
61\text{ km/s}
B
25\text{ km/s}
C
11\text{ km/s}
D
7{,}7\text{ km/s}
E
3{,}3\text{ km/s}

Note e adote:
raio da Terra = 6 \times 10^3\text{ km} massa da Terra = 6 \times 10^{24}\text{ kg} constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\text{ m}^3\text{ / (s}^2\text{ kg)}

Answer 1

Questão 61 da FUVEST 2015

1ª fase

A notícia “Satélite brasileiro cai na Terra após lançamento falhar”, veiculada pelo jornal O Estado de S. Paulo de 10/12/2013, relata que o satélite CBERS-3, desenvolvido em parceria entre Brasil e China, foi lançado no espaço a uma altitude de 720 km (menor do que a planejada) e com uma velocidade abaixo da necessária para colocá-lo em órbita em torno da Terra. Para que o satélite pudesse ser colocado em órbita circular na altitude de 720 km, o módulo de sua velocidade (com direção tangente à órbita) deveria ser de, aproximadamente,

A
61\text{ km/s}
B
25\text{ km/s}
C
11\text{ km/s}
D
7{,}7\text{ km/s}
E
3{,}3\text{ km/s}

Note e adote:
raio da Terra = 6 \times 10^3\text{ km} massa da Terra = 6 \times 10^{24}\text{ kg} constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\text{ m}^3\text{ / (s}^2\text{ kg)}

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Resolução comentada

Numa órbita circular, a força gravitacional faz o papel de força centrípeta:

\frac{G M m}{r^2}=\frac{m v^2}{r}\ \Rightarrow\ v=\sqrt{\frac{G M}{r}}

A massa do satélite se cancela, então só importam a massa da Terra e a distância r até o centro da Terra.

Raio da órbita: r = R_T + h = 6\times10^3 + 720 = 6{,}72\times10^3\ \text{km} \approx 6{,}7\times10^6\ \text{m}.
Produto GM: 6{,}7\times10^{-11}\cdot 6\times10^{24}=40{,}2\times10^{13}=4{,}02\times10^{14} (em unidades SI).
Divisão: \dfrac{GM}{r}=\dfrac{4{,}02\times10^{14}}{6{,}7\times10^{6}}=6\times10^{7}\ \text{m}^2/\text{s}^2.
Raiz: v=\sqrt{6\times10^{7}}=\sqrt{60\times10^{6}}\approx 7{,}7\times10^{3}\ \text{m/s}=7{,}7\ \text{km/s}.

Esse valor é coerente com satélites em órbita baixa, que têm cerca de 7 a 8 km/s.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem lembra da velocidade de escape (~11 km/s), que é maior que a velocidade de órbita circular por um fator \sqrt{2}.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem sentido físico, muito acima da velocidade de escape; provável erro de potências de 10 ou de unidades.
BErro de potência de 10 ou de conta, resultando em valor bem acima do correto.
CÉ a velocidade de escape da Terra (cerca de 11 km/s), não a de órbita circular.
EResultado abaixo do correto, típico de erro na conta ou no uso do raio da órbita.

Assuntos: gravitação universal, órbita circular, velocidade orbital.

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