Questão 13 da FUVEST 2011

1ª fase

Um esqueitista treina em uma pista cujo perfil está representado na figura abaixo. O trecho horizontal AB está a uma altura h = 2{,}4\ \text{m} em relação ao trecho, também horizontal, CD. O esqueitista percorre a pista no sentido de A para D. No trecho AB, ele está com velocidade constante, de módulo v = 4\ \text{m/s}; em seguida, desce a rampa BC, percorre o trecho CD, o mais baixo da pista, e sobe a outra rampa até atingir uma altura máxima H, em relação a CD. A velocidade do esqueitista no trecho CD e a altura máxima H são, respectivamente, iguais a

Perfil de pista de skate com trecho horizontal superior AB a uma altura h da base horizontal CD, conectado por uma descida curva BC, e seguido por uma rampa ascendente após o ponto D.

NOTE E ADOTE
g = 10\ \text{m/s}^2
Desconsiderar:

  • Efeitos dissipativos.
  • Movimentos do esqueitista em relação ao esqueite.
  1. A
    5\ \text{m/s} e 2{,}4\ \text{m}.
  2. B
    7\ \text{m/s} e 2{,}4\ \text{m}.
  3. C
    7\ \text{m/s} e 3{,}2\ \text{m}.
  4. D
    8\ \text{m/s} e 2{,}4\ \text{m}.
  5. E
    8\ \text{m/s} e 3{,}2\ \text{m}.
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Resolução comentada

Sem efeitos dissipativos, a energia mecânica se conserva. Ela é a soma da energia cinética com a potencial gravitacional: E = \frac{mv^2}{2} + mgh.

Velocidade em CD. Tomamos CD como nível zero de altura. Em AB, o esqueitista tem energia cinética e potencial. Em CD, toda a energia é cinética:

  1. \frac{mv_{AB}^2}{2} + mgh = \frac{mv_{CD}^2}{2}
  2. A massa m se cancela: v_{CD}^2 = v_{AB}^2 + 2gh
  3. v_{CD}^2 = 4^2 + 2\cdot 10\cdot 2{,}4 = 16 + 48 = 64
  4. v_{CD} = 8\ \text{m/s}

Altura máxima H. No ponto mais alto da rampa, a velocidade do esqueitista é nula (não há movimento horizontal a considerar, pois ele sobe e para). Toda a energia de CD vira potencial:

\frac{mv_{CD}^2}{2} = mgH \Rightarrow H = \frac{64}{2\cdot 10} = 3{,}2\ \text{m}

Esse valor é maior que h = 2{,}4\ \text{m}, o que faz sentido: em AB o esqueitista já tinha energia cinética, então chega mais alto do que o ponto de partida.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem acerta a velocidade de 8\ \text{m/s} mas supõe que o esqueitista volta só até a altura inicial h, esquecendo que em AB ele já tinha energia cinética.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASoma as velocidades ou raciocina sem conservar a energia, e ainda toma H igual a h, ignorando a energia cinética inicial.
  • BVelocidade de 7\ \text{m/s} não resulta da conservação de energia, e H = h ignora a energia cinética em AB.
  • CA velocidade de 7\ \text{m/s} está errada; o valor correto é 8\ \text{m/s}, embora H = 3,2 m esteja certo.
  • DAcerta a velocidade, mas supõe H = h = 2,4 m, esquecendo que a energia cinética inicial também vira altura.

Assuntos: conservação da energia mecânica, energia cinética e potencial.

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