Questão 82 da FUVEST 2010

1ª fase

Na Cidade Universitária (USP), um jovem, em um carrinho de rolimã, desce a rua do Matão, cujo perfil está representado na figura abaixo, em um sistema de coordenadas em que o eixo Ox tem a direção horizontal. No instante t = 0, o carrinho passa em movimento pela posição y = y_0 e x = 0.

Ilustração de um perfil de descida em um sistema de coordenadas cartesianas xy, com o eixo horizontal x e o vertical y. Uma pessoa desce em um carrinho de rolimã sobre uma pista cuja inclinação diminui até ficar quase horizontal para valores maiores de x. Há uma seta vertical apontando para baixo indicando a aceleração da gravidade g.

Dentre os gráficos das figuras abaixo, os que melhor poderiam descrever a posição x e a velocidade v do carrinho em função do tempo t são, respectivamente,

Quatro gráficos de variáveis em função do tempo t. O gráfico I mostra uma curva crescente com concavidade voltada para cima partindo da origem; o gráfico II mostra uma curva que parte de um valor positivo no eixo vertical, cresce com concavidade para baixo e tende a uma reta horizontal; o gráfico III mostra uma curva decrescente com concavidade voltada para cima partindo de um valor positivo no eixo vertical; o gráfico IV mostra uma curva que sai da origem, cresce até um ponto máximo e começa a decrescer.

  1. A
    I e II.
  2. B
    I e III.
  3. C
    II e IV.
  4. D
    III e II.
  5. E
    IV e III.
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Resolução comentada

O carrinho passa por x = 0 em t = 0 em movimento, então a velocidade inicial não é nula. Isso já elimina gráficos que partem da origem no caso de v.

Pense na componente horizontal do movimento ao longo da descida:

  1. No início, a rampa é inclinada e a aceleração do carrinho ao longo da pista é grande. A componente horizontal da velocidade aumenta.
  2. Conforme a inclinação diminui, a aceleração cai, pois a componente do peso ao longo da pista fica menor.
  3. No trecho final, quase horizontal, a aceleração é praticamente nula. A velocidade tende a um valor constante (máximo) e o carrinho não freia de forma apreciável, desprezando atritos.

Assim, v(t) parte de um valor positivo, cresce cada vez mais devagar (concavidade para baixo) e tende a uma constante. É o gráfico II.

Para x(t): como v é sempre positiva, x só cresce, e o coeficiente angular da curva é v. Se v aumenta, a curva tem inclinação crescente, isto é, concavidade para cima, e parte de x=0. É o gráfico I. Em tempos longos, ela vira quase uma reta, pois v se torna constante.

O gráfico III (decrescente) e o IV (com máximo, ou seja, x diminuindo) não servem para x, já que o carrinho sempre avança para a direita.

Posição: I; velocidade: II.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BO gráfico III mostra velocidade decrescente, mas o carrinho acelera na descida.
  • CO gráfico II para x indicaria velocidade decrescente, e o IV para v começaria em zero e diminuiria, o que não condiz com o movimento.
  • DO gráfico III para x indica posição diminuindo, mas o carrinho avança em x.
  • EO gráfico IV para x teria máximo, como se o carrinho voltasse, e o III para v mostra que ele desacelera.

Assuntos: cinemática, gráficos de posição e velocidade, aceleração em plano inclinado.

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