Questão 32 da FUVEST 2006

Question

Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem.

Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão?

A
16
B
17
C
18
D
19
E
20

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 32 da FUVEST 2006

1ª fase · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem.

Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão?

A
16
B
17
C
18
D
19
E
20

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Seja h o número de homens e m o de mulheres, com h+m=37. Vamos contar os apertos de mão por tipo de par.

Dois homens: apertam a mão na chegada e na saída, ou seja, 2 apertos por par.
Homem e mulher: apertam a mão só na chegada, ou seja, 1 aperto por par.
Duas mulheres: nenhum aperto.

O número de pares de homens é \binom{h}{2}=\dfrac{h(h-1)}{2} e o de pares homem-mulher é h\cdot m.

Total de apertos:

2\cdot\frac{h(h-1)}{2}+h\,m=h(h-1)+hm=h(h-1+m)

Como m=37-h, temos h-1+m=36. Então:

36h=720 \Rightarrow h=20

Logo m=37-20=17.

Conferindo: 20\cdot19=380 apertos entre homens e 20\cdot17=340 entre homens e mulheres, e 380+340=720. ✓

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E engana: 20 é o número de homens obtido em 36h=720, e não o de mulheres pedido.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem base na contagem; não satisfaz 36h=720 (daria h=21 e total diferente de 720).
CCom 18 mulheres, h=19 e o total seria 36\cdot19=684, não 720.
DCom 19 mulheres, h=18 e o total seria 36\cdot18=648, não 720.
EConfunde com o número de homens (h=20), que é o resultado intermediário.

Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Equações do 1º grau e problemas.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova