Questão 46 (2º exame) da FUVEST 2002

A ideia é escrever tudo em função de \cos x. Como \sen^2 x = 1-\cos^2 x, e chamando c=\cos x:

1. 1 - c^2 - 2c^4 = 0, ou seja, 2c^4 + c^2 - 1 = 0.
2. Fazendo t = c^2: 2t^2 + t - 1 = 0.
3. \Delta = 1 + 8 = 9, então t = \dfrac{-1 \pm 3}{4}, o que dá t = \dfrac{1}{2} ou t=-1.
4. t=c^2 não pode ser negativo, então \cos^2 x = \dfrac{1}{2}, isto é, \cos x = \pm\dfrac{\sqrt2}{2}.

Em [0,2\pi], \cos x = \dfrac{\sqrt2}{2} dá x=\dfrac{\pi}{4} e x=\dfrac{7\pi}{4}; \cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2} dá x=\dfrac{3\pi}{4} e x=\dfrac{5\pi}{4}.

Soma:

Não há outras raízes: o valor t=-1 foi descartado e os extremos 0 e 2\pi não satisfazem a equação (\sen^2 0 - 2 = -2 \ne 0).

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConsidera apenas duas das quatro raízes (por exemplo, só as do primeiro e do segundo quadrantes ou pares simétricos).
• BSoma incorreta das raízes, por exemplo omitindo uma delas; as quatro raízes somam 4\pi.
• DValor grande demais, que surge ao contar raízes a mais, como 0 e 2\pi ou repetições.
• ETambém ultrapassa a soma real das quatro raízes; vem de incluir soluções inexistentes.

Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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