Questão 60 (2º exame) da FUVEST 2000

Cada desigualdade define uma parte do plano, e a região pedida é a interseção delas.

1. x \ge 0 e y \ge 0: só vale o primeiro quadrante, com os eixos incluídos.
2. x - y + 1 \ge 0 equivale a y \le x + 1. A fronteira é a reta y = x + 1, que corta o eixo y em (0,1) e o eixo x em (-1,0). A região fica abaixo dessa reta. Teste com a origem: 0 - 0 + 1 = 1 \ge 0, então a origem pertence à região.
3. x^2 + y^2 \le 9 é o disco de centro na origem e raio 3, ou seja, a parte interna da circunferência.

A reta encontra a circunferência onde x^2 + (x+1)^2 = 9, isto é, 2x^2 + 2x - 8 = 0, ou x^2 + x - 4 = 0. Daí x = \frac{-1+\sqrt{17}}{2} \approx 1{,}56 e y \approx 2{,}56. Esse ponto fica no primeiro quadrante.

A região é, portanto, limitada à esquerda pelo eixo y, embaixo pelo eixo x, em cima pela reta y = x+1 (de x=0 até cerca de 1{,}56) e, depois, pelo arco da circunferência até (3,0). A origem está dentro dela.

A figura a mostra exatamente isso: a região no primeiro quadrante, com a reta saindo de (0,1) e encontrando o arco. A figura c fica acima da reta, a b usa uma reta horizontal, a d está no quarto quadrante e a e é externa ao círculo.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BTraz uma reta horizontal, que não corresponde a y \le x+1.
• CSombreia a região acima da reta y=x+1, o que inverte a desigualdade.
• DEstá no quarto quadrante, contrariando y \ge 0.
• ESombreia a parte externa à circunferência, mas a condição é x^2+y^2 \le 9 (interior).

Assuntos: Inequações e desigualdades, Equação da circunferência.

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