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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 41 (2º exame) da FUVEST 1999

2º exame · Matemática: Sistemas de numeração

— Um estudante terminou um trabalho que tinha n páginas. Para numerar todas essas páginas, iniciando com a página 1, ele escreveu 270 algarismos. Então o valor de n é:

  1. A
    99
  2. B
    112
  3. C
    126
  4. D
    148
  5. E
    270
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Resolução comentada

Vamos contar quantos algarismos são gastos em cada faixa de páginas.

  1. Páginas de 1 a 9: são 9 páginas com 1 algarismo cada, total 9\cdot 1 = 9 algarismos.
  2. Páginas de 10 a 99: são 99-10+1 = 90 páginas com 2 algarismos cada, total 90\cdot 2 = 180 algarismos.

Até a página 99 ele já escreveu:

9 + 180 = 189 \text{ algarismos}

Como ele escreveu 270, sobram:

270 - 189 = 81 \text{ algarismos}
  1. Essas páginas restantes têm 3 algarismos cada (100, 101, ...). Então o número de páginas de 3 algarismos é:
\frac{81}{3} = 27

A contagem começa na página 100, então 27 páginas vão de 100 até 100 + 27 - 1 = 126.

Conferindo: 9 + 180 + 27\cdot 3 = 9 + 180 + 81 = 270. ✓

Portanto n = 126.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A99 é o fim das páginas de 2 algarismos; só gastaria 189 algarismos.
  • B112 usaria só 189+13\cdot3=228 algarismos; erro ao contar as páginas de 3 algarismos.
  • D148 daria 189+49\cdot3=336 algarismos, passando de 270.
  • E270 confunde o número de algarismos com o número de páginas.

Assunto: Sistemas de numeração.

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Ver como caiu na prova Questão 41 no caderno T da FUVEST 1999

Fonte: FUVEST 1999 · 2º exame. Prova oficial ↗