Questão 44 (2º exame) da FUVEST 1998

Sejam a e b naturais, com a>b, tais que a^2-b^2=21.

O conceito usado é a diferença de quadrados: a^2-b^2=(a-b)(a+b). Assim, (a-b)(a+b)=21.

Como a-b e a+b são naturais e o produto é 21, só podemos decompor 21 em fatores: 1\times 21 ou 3\times 7. Além disso, a+b \ge a-b.

1. Caso a-b=1 e a+b=21: somando, 2a=22, logo a=11 e b=10. Conferindo: 121-100=21. ✓
   A soma dos quadrados é 121+100=221, que não está nas alternativas.

2. Caso a-b=3 e a+b=7: somando, 2a=10, logo a=5 e b=2. Conferindo: 25-4=21. ✓
   A soma dos quadrados é 25+4=29.

Os únicos pares possíveis são (11,10) e (5,2), e os valores da soma dos quadrados são 221 e 29. Apenas 29 aparece entre as alternativas.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• B97 não é soma de quadrados de nenhum par que satisfaça a^2-b^2=21.
• C132 não corresponde a nenhum dos pares (5,2) ou (11,10).
• D184 não resulta de nenhum par possível; os valores possíveis são 29 e 221.
• E252 não corresponde a nenhum par possível; os valores possíveis são 29 e 221.

Assunto: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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