Questão F04 da 2ª fase da FUVEST 2021
Uma pessoa de altura h posiciona-se de pé em um quarto vazio, no qual três das quatro paredes são escuras, enquanto a parede restante é um espelho quase perfeito. O quarto é iluminado por uma única lâmpada, aproximadamente esférica e situada a uma altura 2h. A figura 1 mostra uma vista superior, e a figura 2, uma vista lateral do quarto. Na figura 2, “O” indica a posição da pessoa e “E”, a posição do espelho. As dimensões da lâmpada são muito menores que os demais comprimentos relevantes. Nessas condições, são formadas duas sombras da pessoa no piso do quarto. Na folha de resposta, há diagramas nos quais o círculo representa a pessoa e os tons mais claros/escuros indicam uma sombra menos/mais intensa.
a) Dentre os diagramas da folha de respostas, indique aquele que melhor corresponde ao padrão de sombras que, na situação descrita, seria observado na sala.
b) Determine os comprimentos das sombras \overline{AO} e \overline{OB} considerando os dados fornecidos.
A intensidade da radiação luminosa é definida como a energia luminosa transportada por unidade de área por unidade de tempo. Para fontes luminosas esféricas pontuais, a intensidade luminosa em um certo ponto deve diminuir com o inverso do quadrado da distância do ponto à fonte luminosa.
c) Desprezando as dimensões da cabeça da pessoa em relação aos demais comprimentos relevantes, tomando h = D e supondo que não haja reflexão relevante da luz em qualquer outra superfície que não a parede espelhada, determine a razão numérica entre a intensidade luminosa no ponto F e aquela no ponto T, localizados na cabeça da pessoa e indicados na figura 2.
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Resolução comentada
a) Use a vista lateral (figura 2), com o espelho em x=0, a pessoa em x=D e a lâmpada em x=2D, a altura 2h. A parede espelhada produz uma lâmpada virtual (imagem) em x=-2D, também a altura 2h.
Há, portanto, duas fontes: a lâmpada real e a sua imagem. Cada uma projeta uma sombra da pessoa.
- A lâmpada real projeta a sombra para o lado do espelho, entre O e E. Essa região recebe luz só da imagem, que está mais longe e chega mais fraca. Logo, a sombra é curta e mais escura.
- A imagem projeta a sombra para o lado oposto ao espelho, e ela é longa. Essa região recebe luz direta da lâmpada real, que é forte. Logo, a sombra é longa e mais clara.
O diagrama correto é aquele com o círculo no meio, uma sombra curta e escura do lado do espelho e uma sombra longa e clara do lado oposto. Pelo item b, o comprimento da longa é o triplo do da curta.
Resposta: sombra curta e escura do lado do espelho, sombra longa e clara do lado oposto.
b) Use semelhança de triângulos, com o topo da cabeça em (D,h).
- Lâmpada real, em (2D,2h): o raio que passa pela cabeça desce h ao avançar D na horizontal. Ele chega ao piso a uma distância D de O, do lado do espelho, exatamente em E. Assim, \overline{AO}=D.
- Imagem, em (-2D,2h): o raio que passa pela cabeça desce h ao avançar 3D na horizontal (de -2D até D). Para descer mais h até o piso, avança mais 3D. Assim, \overline{OB}=3D.
Aqui A é a ponta da sombra do lado do espelho e B a ponta da sombra do lado oposto.
Resposta: \overline{AO}=D e \overline{OB}=3D.
c) Com h=D, a cabeça está a altura D.
- O ponto T fica do lado da lâmpada real e recebe luz direta dela. Sua distância à lâmpada é d_T=\sqrt{D^2+D^2}=D\sqrt{2}. A cabeça bloqueia a luz refletida que viria do espelho até T.
- O ponto F fica do lado do espelho e não recebe luz direta, pois a cabeça o encobre. Ele só recebe a luz que parece vir da imagem, a uma distância d_F=\sqrt{(3D)^2+D^2}=D\sqrt{10}.
Como a intensidade varia com 1/d^2 e o espelho é quase perfeito:
Resposta: I_F/I_T = 1/5 = 0{,}2.
Assuntos: óptica geométrica, espelho plano, intensidade luminosa.
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