Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2019
Uma urna tem A bolas azuis e B bolas brancas. Ao serem retiradas duas delas de uma só vez, aleatoriamente, a probabilidade de saírem duas bolas azuis é denotada por p_A, a probabilidade de saírem duas bolas brancas é denotada por p_B, e a probabilidade de saírem duas bolas de cores diferentes é denotada por p_M.
a) Se A = 2 e B = 5, determine p_B.
b) Se o total de bolas da urna é 21 e p_M é o triplo de p_A, quantas bolas azuis e quantas bolas brancas há na urna?
c) Se A = 3, para quais valores de B o valor de p_M é estritamente maior do que \frac{1}{2}?
Reportar erro na questão
Resolução comentada
a) Com A=2 e B=5 há 7 bolas. Retirando 2 de uma vez, o total de casos é \binom{7}{2}=21. Os casos favoráveis (duas brancas) são \binom{5}{2}=10.
p_B=\dfrac{10}{21}
b) Com A+B=21, o total de casos é \binom{21}{2}, que aparece nas duas probabilidades e vai se cancelar.
- Duas azuis: \binom{A}{2}=\dfrac{A(A-1)}{2} casos.
- Cores diferentes: A\cdot B casos.
A condição p_M=3p_A fica AB=3\cdot\dfrac{A(A-1)}{2}. Supondo A>0 (se A=0, ambas as probabilidades são nulas e o caso é trivial), dividimos por A:
Substituindo em A+B=21:
Conferindo: p_M=\dfrac{108}{210} e p_A=\dfrac{36}{210}, e de fato 108=3\cdot 36.
9 bolas azuis e 12 bolas brancas.
c) Com A=3 há B+3 bolas, e
Queremos p_M>\dfrac12, ou seja, 12B>B^2+5B+6 (o denominador é positivo). Isso dá
Como B é inteiro, B\in\{2,3,4,5\}. Nos extremos B=1 e B=6 a probabilidade vale exatamente \frac12 (por exemplo, B=6: \frac{36}{72}), então eles ficam de fora.
B=2,3,4 ou 5 (isto é, 1<B<6).
Assuntos: probabilidade, análise combinatória, inequação do 2º grau.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
