PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão F04 da 2ª fase da FUVEST 2019

2º dia · Física · Física: Energia mecânica e sua conservação

Um bloco de massa m = 400\ \text{g} está encostado em uma mola que foi comprimida de \Delta x = 0{,}2\ \text{m} em relação a seu comprimento natural. Em um determinado instante, a mola é solta e o bloco adquire velocidade e percorre uma distância d = 0{,}5\ \text{m} sobre uma superfície horizontal com coeficiente de atrito \mu = 0{,}3 e executa um loop de raio R = 0{,}9\ \text{m}.

Esquema ilustrando um bloco de massa m e uma mola de constante elástica k. Acima, a mola em seu comprimento natural com o bloco encostado. Abaixo, a mola comprimida de uma distância Δx é solta, impulsionando o bloco para a direita em uma pista horizontal ao longo de uma distância d até a base B de uma pista circular (loop) de raio R, cujo topo é indicado pelo ponto A.

Determine

a) a energia cinética \Delta E perdida pelo bloco ao longo do percurso de comprimento d;

b) as velocidades mínimas v_A e v_B que o bloco deve ter, respectivamente, nos pontos A e B, indicados na figura, para conseguir completar o loop;

c) o menor valor da constante elástica k da mola para que o bloco complete o loop.

Note e adote:
Aceleração da gravidade = 10\ \text{m/s}^2
Não há atrito entre o bloco e a pista em loop.
Ignore a resistência do ar.
A figura é esquemática e não está em escala.
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Resolução comentada

a) O atrito é a única força que dissipa energia no trecho horizontal. A normal é igual ao peso, N = mg, então a força de atrito vale F_{at} = \mu m g. A energia perdida é o módulo do trabalho dessa força ao longo de d:

\Delta E = \mu m g d = 0{,}3 \cdot 0{,}4 \cdot 10 \cdot 0{,}5 = 0{,}6\ \text{J}

\Delta E = 0{,}6\ \text{J}

b) No topo (A), a velocidade mínima é aquela em que a pista deixa de empurrar o bloco, ou seja, N = 0. Só o peso faz o papel de força centrípeta:

mg = \frac{m v_A^2}{R} \Rightarrow v_A^2 = gR = 10\cdot 0{,}9 = 9 \Rightarrow v_A = 3\ \text{m/s}

No loop não há atrito, então a energia mecânica se conserva entre B (base) e A (topo, a altura 2R):

\frac{m v_B^2}{2} = \frac{m v_A^2}{2} + mg(2R) \Rightarrow v_B^2 = v_A^2 + 4gR = 9 + 36 = 45
v_B = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6{,}7\ \text{m/s}

v_A = 3\ \text{m/s} e v_B = 3\sqrt{5} \approx 6{,}7\ \text{m/s}

c) A energia elástica armazenada na mola se transforma em energia cinética em B, descontada a energia dissipada pelo atrito no trecho d. Para o menor k, o bloco chega a B com a velocidade mínima v_B do item (b):

\frac{k\,\Delta x^2}{2} = \frac{m v_B^2}{2} + \Delta E = \frac{0{,}4\cdot 45}{2} + 0{,}6 = 9 + 0{,}6 = 9{,}6\ \text{J}
k = \frac{2\cdot 9{,}6}{(0{,}2)^2} = \frac{19{,}2}{0{,}04} = 480\ \text{N/m}

k = 480\ \text{N/m}

Assuntos: Energia mecânica e sua conservação, Atrito e resistência do ar, Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta).

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