Questão F04 da 2ª fase da FUVEST 2017

3º dia · Física

Telas sensíveis ao toque são utilizadas em diversos dispositivos. Certos tipos de tela são constituídos, essencialmente, por duas camadas de material resistivo, separadas por espaçadores isolantes. Uma leve pressão com o dedo, em algum ponto da tela, coloca as placas em contato nesse ponto, alterando o circuito elétrico do dispositivo. As figuras mostram um esquema elétrico do circuito equivalente à tela e uma ilustração da mesma. Um toque na tela corresponde ao fechamento de uma das chaves C_n, alterando a resistência equivalente do circuito.

A bateria fornece uma tensão V = 6\ \text{V} e cada resistor tem 0{,}5\ \text{k}\Omega de resistência. Determine, para a situação em que apenas a chave C_2 está fechada, o valor da

Esquema elétrico com dois ramos horizontais, cada um contendo cinco resistores de resistência R em série. Cinco chaves abertas, C₁, C₂, C₃, C₄ e C₅, ligam os pontos correspondentes dos dois ramos após cada resistor. O ponto A está na extremidade esquerda do ramo superior, e o ponto B está entre o segundo e o terceiro resistores desse ramo, junto à chave C₂. Uma bateria de tensão V conecta as extremidades esquerda e direita do circuito, com a placa maior à direita. Abaixo, uma ilustração em corte mostra duas placas de material resistivo separadas por espaçadores isolantes. Um dedo pressiona a placa superior até que ela encoste na inferior. As indicações são “Toque (chave fechada)”, “Placas de material resistivo” e “Isolante”.

a) resistência equivalente R_{\mathrm{E}} do circuito;

b) tensão V_{\mathrm{AB}} entre os pontos A e B;

c) corrente i através da chave fechada C_2;

d) potência P dissipada no circuito.

Note e adote:
Ignore a resistência interna da bateria e dos fios de ligação.
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Resolução comentada

a) Com só C_2 fechada, o circuito se divide assim. Os três resistores da parte inferior direita ficam em série com a bateria. A partir do nó da chave C_2, a corrente se divide em dois caminhos até o nó de A, que é o lado esquerdo da bateria:

  • os dois resistores inferiores da esquerda, 2R;
  • a chave C_2 e os dois resistores superiores da esquerda, 2R.

Os resistores superiores da direita não conduzem corrente, porque a chave C_5 está aberta e esse ramo fica pendurado em A.

Os dois caminhos de 2R estão em paralelo:

R_{par}=\frac{2R\cdot 2R}{2R+2R}=R

Em série com os 3R da direita:

R_E=3R+R=4R=4\cdot 0{,}5\ \text{k}\Omega=2\ \text{k}\Omega

R_E = 2\ \text{k}\Omega

b) A corrente total que sai da bateria é:

i_T=\frac{V}{R_E}=\frac{6}{2000}=3\ \text{mA}

A tensão no trecho em paralelo, que é justamente V_{AB} (A e B são os extremos do ramo superior de 2R em paralelo com o inferior), é a corrente total vezes a resistência equivalente R desse trecho:

V_{AB}=i_T\cdot R=3\times10^{-3}\cdot 500=1{,}5\ \text{V}

V_{AB}=1{,}5\ \text{V}

c) Os dois caminhos em paralelo têm a mesma resistência, 2R=1\ \text{k}\Omega, e a mesma tensão, então a corrente se divide igualmente. A corrente que passa por C_2 é a do ramo superior:

i=\frac{V_{AB}}{2R}=\frac{1{,}5}{1000}=1{,}5\ \text{mA}

(É metade dos 3\ \text{mA} totais.)

i=1{,}5\ \text{mA}

d) A potência dissipada no circuito é a fornecida pela bateria:

P=V\,i_T=6\cdot 3\times10^{-3}=1{,}8\times10^{-2}\ \text{W}

P=18\ \text{mW}

Assuntos: associação de resistores, circuitos elétricos, potência elétrica.

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