Questão F03 da 2ª fase da FUVEST 2017

Question

Foram identificados, até agora, aproximadamente 4.000 planetas fora do Sistema Solar, dos quais cerca de 10 são provavelmente rochosos e estão na chamada região habitável, isto é, orbitam sua estrela a uma distância compatível com a existência de água líquida, tendo talvez condições adequadas à vida da espécie humana. Um deles, descoberto em 2016, orbita Proxima Centauri, a estrela mais próxima da Terra. A massa, M_P, e o raio, R_P, desse planeta são diferentes da massa, M_T, e do raio, R_T, do planeta Terra, por fatores \alpha e \beta: M_P = \alpha M_T e R_P = \beta R_T.

a) Qual seria a relação entre \alpha e \beta se ambos os planetas tivessem a mesma densidade?

Imagine que você participe da equipe encarregada de projetar o robô C-1PO, que será enviado em uma missão não tripulada a esse planeta. Características do desempenho do robô, quando estiver no planeta, podem ser avaliadas a partir de dados relativos entre o planeta e a Terra.

Nas condições do item a), obtenha, em função de \beta,

Esquema ilustrativo do robô C-1PO dando um passo, destacando a perna de comprimento L que descreve uma trajetória pendular indicada por uma linha tracejada curva.

b) a razão r_g = \frac{g_P}{g_T} entre o valor da aceleração da gravidade, g_P, que será sentida por C-1PO na superfície do planeta e o valor da aceleração da gravidade, g_T, na superfície da Terra;

c) a razão r_t = \frac{t_P}{t_T} entre o intervalo de tempo, t_P, necessário para que C-1PO dê um passo no planeta e o intervalo de tempo, t_T, do passo que ele dá aqui na Terra (considere que cada perna do robô, de comprimento L, faça um movimento como o de um pêndulo simples de mesmo comprimento);

d) a razão r_v = \frac{v_P}{v_T} entre os módulos das velocidades do robô no planeta, v_P, e na Terra, v_T.

Note e adote:

A Terra e o planeta são esféricos.

O módulo da força gravitacional F entre dois corpos de massas M_1 e M_2, separados por uma distância r, é dado por F = G \frac{M_1 M_2}{r^2}, em que G é a constante de gravitação universal.

O período de um pêndulo simples de comprimento L é dado por T = 2\pi (L/g)^{1/2}, em que g é a aceleração local da gravidade.

Os passos do robô têm o mesmo tamanho na Terra e no planeta.

Answer 1

Questão F03 da 2ª fase da FUVEST 2017

3º dia · Física

Foram identificados, até agora, aproximadamente 4.000 planetas fora do Sistema Solar, dos quais cerca de 10 são provavelmente rochosos e estão na chamada região habitável, isto é, orbitam sua estrela a uma distância compatível com a existência de água líquida, tendo talvez condições adequadas à vida da espécie humana. Um deles, descoberto em 2016, orbita Proxima Centauri, a estrela mais próxima da Terra. A massa, M_P, e o raio, R_P, desse planeta são diferentes da massa, M_T, e do raio, R_T, do planeta Terra, por fatores \alpha e \beta: M_P = \alpha M_T e R_P = \beta R_T.

a) Qual seria a relação entre \alpha e \beta se ambos os planetas tivessem a mesma densidade?

Imagine que você participe da equipe encarregada de projetar o robô C-1PO, que será enviado em uma missão não tripulada a esse planeta. Características do desempenho do robô, quando estiver no planeta, podem ser avaliadas a partir de dados relativos entre o planeta e a Terra.

Nas condições do item a), obtenha, em função de \beta,

Esquema ilustrativo do robô C-1PO dando um passo, destacando a perna de comprimento L que descreve uma trajetória pendular indicada por uma linha tracejada curva.

b) a razão r_g = \frac{g_P}{g_T} entre o valor da aceleração da gravidade, g_P, que será sentida por C-1PO na superfície do planeta e o valor da aceleração da gravidade, g_T, na superfície da Terra;

c) a razão r_t = \frac{t_P}{t_T} entre o intervalo de tempo, t_P, necessário para que C-1PO dê um passo no planeta e o intervalo de tempo, t_T, do passo que ele dá aqui na Terra (considere que cada perna do robô, de comprimento L, faça um movimento como o de um pêndulo simples de mesmo comprimento);

d) a razão r_v = \frac{v_P}{v_T} entre os módulos das velocidades do robô no planeta, v_P, e na Terra, v_T.

Note e adote:

A Terra e o planeta são esféricos.

O módulo da força gravitacional F entre dois corpos de massas M_1 e M_2, separados por uma distância r, é dado por F = G \frac{M_1 M_2}{r^2}, em que G é a constante de gravitação universal.

O período de um pêndulo simples de comprimento L é dado por T = 2\pi (L/g)^{1/2}, em que g é a aceleração local da gravidade.

Os passos do robô têm o mesmo tamanho na Terra e no planeta.

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Resolução comentada

a) A densidade é \rho = \dfrac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}. Igualando as densidades do planeta e da Terra:

\frac{\alpha M_T}{\frac{4}{3}\pi(\beta R_T)^3}=\frac{M_T}{\frac{4}{3}\pi R_T^3}\;\Rightarrow\;\frac{\alpha}{\beta^3}=1

Logo, \alpha=\beta^3.

\alpha = \beta^3

b) Na superfície, o peso é a força gravitacional, então mg = G\dfrac{Mm}{R^2} e g=\dfrac{GM}{R^2}. Para o planeta:

g_P=\frac{G\alpha M_T}{\beta^2R_T^2}=\frac{\alpha}{\beta^2}\,g_T

Como \alpha=\beta^3 (item a), \dfrac{\alpha}{\beta^2}=\beta.

r_g=\beta

c) Cada perna oscila como um pêndulo simples de comprimento L. Um passo corresponde a meio período, ou seja, a perna vai de trás para a frente. Então t=\dfrac{T}{2}=\pi\sqrt{L/g}. Como L é o mesmo na Terra e no planeta:

r_t=\frac{t_P}{t_T}=\sqrt{\frac{g_T}{g_P}}=\frac{1}{\sqrt{\beta}}

r_t=\beta^{-1/2}=1/\sqrt{\beta}

d) Os passos têm o mesmo comprimento d nos dois lugares, então v=\dfrac{d}{t}. Assim:

r_v=\frac{v_P}{v_T}=\frac{t_T}{t_P}=\frac{1}{r_t}=\sqrt{\beta}

r_v=\sqrt{\beta}

Assuntos: gravitação universal, pêndulo simples, densidade.

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