Questão F05 da 2ª fase da FUVEST 2017

3º dia · Física

Um grupo de estudantes, pretendendo estudar fenômeno análogo ao das cores comumente observadas em manchas de óleo, fez o seguinte experimento: depositou uma gota de um líquido, com índice de refração n = 2{,}5, sobre a água contida em um recipiente cilíndrico de raio 10\text{ cm}. O líquido se espalha com espessura homogênea sobre toda a superfície da água, como esquematizado na figura.

Ilustração de um recipiente cilíndrico transparente contendo água e uma camada uniforme de líquido sobre ela, com setas indicando "Líquido" para a camada superior e "Água" para a região inferior.

a) Se o volume da gota do líquido for 0{,}0045\text{ cm}^3, qual será a espessura E da camada do líquido sobre a água?

b) Um feixe de luz propaga-se no ar, incide perpendicularmente na superfície do líquido e sofre reflexão nas superfícies do líquido e da água. Quando a espessura E da camada do líquido for igual a \frac{\lambda}{2n}, sendo \lambda o comprimento de onda da luz incidente, ocorre interferência destrutiva entre a luz refletida no líquido e a luz refletida na água. Determine o valor de \lambda para essa condição.

c) Determine o volume da gota do líquido que deveria ser depositada sobre a água para que não se observe luz refletida quando luz verde de um laser, com frequência 0{,}6 \times 10^{15}\text{ Hz}, incidir perpendicularmente na superfície do líquido.

Note e adote:
O líquido não se mistura com a água.
O recipiente é um cilindro circular reto.
Velocidade da luz c = 3 \times 10^8\text{ m/s}.
\pi \approx 3.
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Resolução comentada

a) A camada de líquido forma um cilindro de raio R = 10\ \text{cm} (o do recipiente) e altura E. O volume da gota é o volume desse cilindro:

V = \pi R^2 E \Rightarrow E = \frac{V}{\pi R^2} = \frac{0{,}0045}{3\cdot 10^2} = 1{,}5\times 10^{-5}\ \text{cm}

Em metros, E = 1{,}5\times 10^{-7}\ \text{m} = 150\ \text{nm}.

E = 1{,}5\times 10^{-5}\ \text{cm}

b) O enunciado dá a condição de interferência destrutiva: E = \dfrac{\lambda}{2n}, com \lambda o comprimento de onda da luz no ar. Isolando \lambda e usando a espessura do item (a):

\lambda = 2nE = 2\cdot 2{,}5\cdot 1{,}5\times 10^{-7} = 7{,}5\times 10^{-7}\ \text{m}

Isso corresponde a 750\ \text{nm}, que está na faixa do vermelho.

\lambda = 7{,}5\times 10^{-7}\ \text{m} = 750\ \text{nm}

c) Não haverá luz refletida quando houver interferência destrutiva, ou seja, quando E = \dfrac{\lambda}{2n}. Primeiro, calculamos o comprimento de onda do laser no ar:

\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3\times 10^8}{0{,}6\times 10^{15}} = 5\times 10^{-7}\ \text{m}

A espessura necessária é

E = \frac{\lambda}{2n} = \frac{5\times 10^{-7}}{2\cdot 2{,}5} = 1\times 10^{-7}\ \text{m} = 1\times 10^{-5}\ \text{cm}

O volume da gota é então

V = \pi R^2 E = 3\cdot 10^2\cdot 10^{-5} = 3\times 10^{-3}\ \text{cm}^3

V = 3\times 10^{-3}\ \text{cm}^3

Assuntos: interferência em filmes finos, ondas e luz, volume do cilindro.

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