Questão F08 da 2ª fase da FUVEST 2009

2ª fase · Física

Com o objetivo de criar novas partículas, a partir de colisões entre prótons, está sendo desenvolvido, no CERN (Centro Europeu de Pesquisas Nucleares), um grande acelerador (LHC). Nele, através de um conjunto de ímãs, feixes de prótons são mantidos em órbita circular, com velocidades muito próximas à velocidade c da luz no vácuo. Os feixes percorrem longos tubos, que juntos formam uma circunferência de 27 km de comprimento, onde é feito vácuo. Um desses feixes contém N = 3{,}0 \times 10^{14} prótons, distribuídos uniformemente ao longo dos tubos, e cada próton tem uma energia cinética E de 7{,}0 \times 10^{12}\text{ eV}. Os prótons repassam inúmeras vezes por cada ponto de sua órbita, estabelecendo, dessa forma, uma corrente elétrica no interior dos tubos. Analisando a operação desse sistema, estime:

a) A energia cinética total \mathbf{E_c}, em joules, do conjunto de prótons contidos no feixe.

b) A velocidade \mathbf{V}, em km/h, de um trem de 400 toneladas que teria uma energia cinética equivalente à energia do conjunto de prótons contidos no feixe.

c) A corrente elétrica \mathbf{I}, em ampères, que os prótons em movimento estabelecem no interior do tubo onde há vácuo.

NOTE E ADOTE:
\text{q} = \text{Carga elétrica de um próton} = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C}
\text{c} = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s}
1\text{ eletron-volt} = 1\text{ eV} = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ J}
ATENÇÃO ! Não utilize expressões envolvendo a massa do próton, pois, como os prótons estão a velocidades próximas à da luz, os resultados seriam incorretos.
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Resolução comentada

a) Primeiro, a energia de um próton em joules, usando 1\ \text{eV} = 1{,}6\times10^{-19}\ \text{J}:

E = 7{,}0\times10^{12}\times1{,}6\times10^{-19} = 1{,}12\times10^{-6}\ \text{J}

O feixe tem N = 3{,}0\times10^{14} prótons, então a energia total é:

E_c = N\,E = 3{,}0\times10^{14}\times1{,}12\times10^{-6} \approx 3{,}4\times10^{8}\ \text{J}

E_c \approx 3{,}4\times10^{8}\ \text{J}

b) Aqui usamos a energia cinética clássica para o trem, que é lento. A massa do trem é m = 400\ \text{t} = 4{,}0\times10^{5}\ \text{kg}. Igualando à energia do feixe:

\frac{m V^2}{2} = E_c \;\Rightarrow\; V^2 = \frac{2\times3{,}36\times10^{8}}{4{,}0\times10^{5}} = 1{,}68\times10^{3}\ \text{m}^2/\text{s}^2
V \approx 41\ \text{m/s}

Para converter para km/h, multiplicamos por 3,6:

V \approx 41\times3{,}6 \approx 1{,}5\times10^{2}\ \text{km/h}

V \approx 1{,}5\times10^{2}\ \text{km/h} (cerca de 148 km/h)

c) Como os prótons estão distribuídos uniformemente e se movem a c, a corrente é a carga total que atravessa um ponto da órbita a cada volta, dividida pelo tempo de uma volta.

  1. Carga total do feixe: Q = N q = 3{,}0\times10^{14}\times1{,}6\times10^{-19} = 4{,}8\times10^{-5}\ \text{C}.
  2. Tempo de uma volta: T = \dfrac{L}{c} = \dfrac{27\times10^{3}}{3{,}0\times10^{8}} = 9{,}0\times10^{-5}\ \text{s}.
  3. Corrente:
I = \frac{Q}{T} = \frac{4{,}8\times10^{-5}}{9{,}0\times10^{-5}} \approx 0{,}53\ \text{A}

I \approx 0{,}53\ \text{A}

Assuntos: energia cinética, corrente elétrica, conversão de unidades.

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