Questão F07 da 2ª fase da FUVEST 2009

Question

Um campo elétrico uniforme, de módulo E, criado entre duas grandes placas paralelas carregadas, \text{P}_1 e \text{P}_2, é utilizado para estimar a carga presente em pequenas esferas. As esferas são fixadas na extremidade de uma haste isolante, rígida e muito leve, que pode girar em torno do ponto O. Quando uma pequena esfera A, de massa \mathbf{M} = 0{,}015\text{ kg} e carga Q, é fixada na haste, e sendo E igual a 500\text{ kV/m}, a esfera assume uma posição de equilíbrio, tal que a haste forma com a vertical um ângulo \theta = 45^\circ. Para essa situação:

Esquema com duas placas verticais paralelas, P1 à esquerda e P2 à direita. No centro, suspenso no ponto O, um pêndulo rígido com uma pequena esfera A na extremidade está inclinado para a direita, formando um ângulo teta com a linha vertical tracejada. Uma escala graduada semicircular acima de O possui um ponteiro alinhado com a haste. À direita, um vetor indica a gravidade g apontando para baixo.

a) Represente, no esquema da folha de respostas, a força gravitacional P e a força elétrica \mathbf{F}_\text{E} que atuam na esfera A, quando ela está em equilíbrio sob ação do campo elétrico. Determine os módulos dessas forças, em newtons.

b) Estime a carga Q, em coulombs, presente na esfera.

c) Se a esfera se desprender da haste, represente, no esquema da folha de respostas, a trajetória que ela iria percorrer, indicando-a pela letra T.

NOTE E ADOTE:
Desconsidere efeitos de indução eletrostática.

Answer 1

Questão F07 da 2ª fase da FUVEST 2009

2ª fase · Física

Um campo elétrico uniforme, de módulo E, criado entre duas grandes placas paralelas carregadas, \text{P}_1 e \text{P}_2, é utilizado para estimar a carga presente em pequenas esferas. As esferas são fixadas na extremidade de uma haste isolante, rígida e muito leve, que pode girar em torno do ponto O. Quando uma pequena esfera A, de massa \mathbf{M} = 0{,}015\text{ kg} e carga Q, é fixada na haste, e sendo E igual a 500\text{ kV/m}, a esfera assume uma posição de equilíbrio, tal que a haste forma com a vertical um ângulo \theta = 45^\circ. Para essa situação:

Esquema com duas placas verticais paralelas, P1 à esquerda e P2 à direita. No centro, suspenso no ponto O, um pêndulo rígido com uma pequena esfera A na extremidade está inclinado para a direita, formando um ângulo teta com a linha vertical tracejada. Uma escala graduada semicircular acima de O possui um ponteiro alinhado com a haste. À direita, um vetor indica a gravidade g apontando para baixo.

a) Represente, no esquema da folha de respostas, a força gravitacional P e a força elétrica \mathbf{F}_\text{E} que atuam na esfera A, quando ela está em equilíbrio sob ação do campo elétrico. Determine os módulos dessas forças, em newtons.

b) Estime a carga Q, em coulombs, presente na esfera.

c) Se a esfera se desprender da haste, represente, no esquema da folha de respostas, a trajetória que ela iria percorrer, indicando-a pela letra T.

NOTE E ADOTE:
Desconsidere efeitos de indução eletrostática.

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Resolução comentada

a) A esfera está em equilíbrio, deslocada para a direita da vertical. Isso mostra que a força elétrica \mathbf{F}_\text{E} é horizontal e aponta para a direita, já que o campo entre as placas é horizontal. O peso \mathbf{P} é vertical e aponta para baixo.

No esquema, desenhe \mathbf{P} saindo de A para baixo e \mathbf{F}_\text{E} saindo de A para a direita. Os dois vetores devem ter o mesmo comprimento, como se verá a seguir.

A haste é leve e rígida e pode girar em torno de O. Por isso, no equilíbrio, o torque do peso em relação a O deve se anular com o torque da força elétrica. Sendo L o comprimento da haste:

F_\text{E}\,L\cos\theta = P\,L\,\sen\theta \;\Rightarrow\; F_\text{E}=P\,\tg 45^\circ = P

Adotando g = 10\ \text{m/s}^2:

P = Mg = 0{,}015\cdot 10 = 0{,}15\ \text{N}

Logo F_\text{E} = 0{,}15\ \text{N}.

P = 0,15 N e F_E = 0,15 N (de mesmo módulo, P para baixo e F_E horizontal para a direita).

b) A força elétrica em uma carga num campo uniforme vale F_\text{E}=|Q|E. Com E = 500\ \text{kV/m} = 5\times 10^{5}\ \text{V/m}:

|Q|=\frac{F_\text{E}}{E}=\frac{0{,}15}{5\times10^{5}}=3\times10^{-7}\ \text{C}

A força aponta para a direita, no sentido do campo ou contra ele, conforme a polaridade das placas. Portanto o sinal de Q depende dessa polaridade, e o módulo é o calculado.

|Q| = 3\times10^{-7}\ \text{C}.

c) Se a esfera se solta da haste, ela fica sujeita apenas a \mathbf{P} e \mathbf{F}_\text{E}, que são constantes. Como P = F_\text{E}, a resultante é constante e vale 0{,}15\sqrt{2}\approx 0{,}21\ \text{N}. Ela aponta para baixo e para a direita, a 45^\circ da vertical.

A esfera estava em repouso no instante em que se soltou. Sem velocidade inicial, ela parte do repouso e acelera na direção da resultante constante. A trajetória é então uma reta inclinada de 45° para baixo e para a direita, a partir da posição de A. Essa reta é o prolongamento da haste, no sentido que se afasta de O.

T: segmento de reta a 45° com a vertical, saindo de A para baixo e para a direita.

Assuntos: equilíbrio de corpo rígido, campo elétrico uniforme, força elétrica.

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Questão F07 no caderno Física da 2ª fase da FUVEST 2009