Questão F04 da 2ª fase da FUVEST 2007

Question

Uma substância radioativa, cuja meia-vida é de aproximadamente 20 minutos, pode ser utilizada para medir o volume do sangue de um paciente. Para isso, são preparadas duas amostras, A e B, iguais, dessa substância, diluídas em soro, com volume de 10\text{ cm}^3 cada. Uma dessas amostras, A, é injetada na circulação sanguínea do paciente e a outra, B, é mantida como controle. Imediatamente antes da injeção, as amostras são monitoradas, indicando \boldsymbol{N_{A1}} = \boldsymbol{N_{B1}} = 160\ 000 contagens por minuto. Após uma hora, é extraída uma amostra C de sangue do paciente, com igual volume de 10\text{ cm}^3, e seu monitoramento indica \boldsymbol{N_C} = 40 contagens por minuto.

Esquema dividido em dois quadros: à esquerda, "Situação inicial", mostrando a injeção da amostra A (com contagem N_A1) no paciente e a amostra de controle B (com contagem N_B1); à direita, "Situação 1 hora depois", mostrando a extração da amostra de sangue C (com contagem N_C) do paciente e a amostra de controle B (com contagem N_B2).

a) Estime o número \boldsymbol{N_{B2}}, em contagens por minuto, medido na amostra de controle B, uma hora após a primeira monitoração.

b) A partir da comparação entre as contagens \boldsymbol{N_{B2}} e \boldsymbol{N_C}, estime o volume \boldsymbol{V}, em litros, do sangue no sistema circulatório desse paciente.

NOTE E ADOTE
A meia vida é o intervalo de tempo após o qual o número de átomos radioativos presentes em uma amostra é reduzido à metade. Na monitoração de uma amostra, o número de contagens por intervalo de tempo é proporcional ao número de átomos radioativos presentes.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão F04 da 2ª fase da FUVEST 2007

2ª fase · Física · Física: Radioatividade e meia-vida

Uma substância radioativa, cuja meia-vida é de aproximadamente 20 minutos, pode ser utilizada para medir o volume do sangue de um paciente. Para isso, são preparadas duas amostras, A e B, iguais, dessa substância, diluídas em soro, com volume de 10\text{ cm}^3 cada. Uma dessas amostras, A, é injetada na circulação sanguínea do paciente e a outra, B, é mantida como controle. Imediatamente antes da injeção, as amostras são monitoradas, indicando \boldsymbol{N_{A1}} = \boldsymbol{N_{B1}} = 160\ 000 contagens por minuto. Após uma hora, é extraída uma amostra C de sangue do paciente, com igual volume de 10\text{ cm}^3, e seu monitoramento indica \boldsymbol{N_C} = 40 contagens por minuto.

Esquema dividido em dois quadros: à esquerda, "Situação inicial", mostrando a injeção da amostra A (com contagem N_A1) no paciente e a amostra de controle B (com contagem N_B1); à direita, "Situação 1 hora depois", mostrando a extração da amostra de sangue C (com contagem N_C) do paciente e a amostra de controle B (com contagem N_B2).

a) Estime o número \boldsymbol{N_{B2}}, em contagens por minuto, medido na amostra de controle B, uma hora após a primeira monitoração.

b) A partir da comparação entre as contagens \boldsymbol{N_{B2}} e \boldsymbol{N_C}, estime o volume \boldsymbol{V}, em litros, do sangue no sistema circulatório desse paciente.

NOTE E ADOTE
A meia vida é o intervalo de tempo após o qual o número de átomos radioativos presentes em uma amostra é reduzido à metade. Na monitoração de uma amostra, o número de contagens por intervalo de tempo é proporcional ao número de átomos radioativos presentes.

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Resolução comentada

a) Uma hora equivale a 60 min, ou seja, 60/20 = 3 meias-vidas. A cada meia-vida o número de átomos radioativos cai à metade, e a contagem é proporcional a esse número. Logo:

N_{B2}=\frac{N_{B1}}{2^3}=\frac{160\,000}{8}=20\,000\ \text{contagens/min}

N_{B2}=20\,000 contagens por minuto.

b) A amostra B tem 10\ \text{cm}^3 e, depois de 1 h, contagem N_{B2}=20\,000. A amostra A, igual à B, também decai nesse tempo, de modo que a atividade que ela teria após 1 h, se ficasse em 10\ \text{cm}^3, seria 20\,000. Ao ser injetada, ela se dilui no sangue do paciente, e o decaimento já está contado em N_{B2}. Assim, a quantidade de radioatividade espalhada no sangue, na data da extração, equivale a 20\,000 contagens por minuto.

A amostra C tem 10\ \text{cm}^3 e contagem 40 contagens/min. Como a contagem é proporcional ao volume de sangue retirado, e a substância está uniformemente distribuída:

\frac{N_C}{N_{B2}}=\frac{10\ \text{cm}^3}{V}

V=10\cdot\frac{N_{B2}}{N_C}=10\cdot\frac{20\,000}{40}=5\,000\ \text{cm}^3

Como 1\ \text{L}=1\,000\ \text{cm}^3, temos V=5 L.

V\approx 5 litros.

Assunto: Radioatividade e meia-vida.

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Questão F04 no caderno Física da 2ª fase da FUVEST 2007