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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 180 do ENEM 2025

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Progressão aritmética

Quatro amigos, cada um com 100 moedas, criaram um jogo, no qual cada um assume uma das quatro posições, 1, 2, 3 ou 4, indicadas na figura, e nela permanece até o final.

Esquema circular com quatro posições numeradas de 1 a 4 dispostas nos quatro pontos cardeais: posição 1 no topo, posição 2 à direita, posição 3 na base e posição 4 à esquerda. Setas no sentido horário indicam o fluxo da posição 1 para a 2, da 2 para a 3, da 3 para a 4 e da 4 para a 1.

O desenvolvimento do jogo se dá em rodadas e, em todas elas, cada jogador transfere e recebe uma quantidade de moedas, da seguinte maneira:

• o jogador na posição 1 transfere 1 moeda para o jogador na posição 2;
• o jogador na posição 2 transfere 2 moedas para o jogador na posição 3;
• o jogador na posição 3 transfere 3 moedas para o jogador na posição 4;
• o jogador na posição 4 transfere 4 moedas para o jogador na posição 1, completando a rodada.

Ao final da rodada n, qual é a expressão algébrica que representa o número de moedas do jogador na posição 1?

  1. A
    103 + 4n
  2. B
    103 + 3n
  3. C
    100 + 4n
  4. D
    100 + 3n
  5. E
    99 + 4n
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Resolução comentada

Em cada rodada, o jogador na posição 1 faz duas coisas: dá 1 moeda ao jogador 2 e recebe 4 moedas do jogador 4.

O saldo dele por rodada é, portanto:

-1 + 4 = +3 \text{ moedas}

Assim, a quantidade de moedas cresce de 3 em 3, o que é uma progressão aritmética (função afim de n), com valor inicial 100 e razão 3.

Conferindo com os primeiros valores:

  1. Após a rodada 1: 100 + 3 = 103.
  2. Após a rodada 2: 103 + 3 = 106.
  3. Após a rodada n: 100 + 3n.

Testando n=1 nas alternativas: (A) dá 107, (B) dá 106, (C) dá 104, (E) dá 103 e (D) dá 103. Como o valor correto é 103, ficam (D) e (E) como candidatas. Em n=2: (D) dá 106, certo; (E) dá 99+8=107, errado.

Logo, a expressão é 100 + 3n.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana porque dá o valor certo (103) em n=1, mas erra a partir da segunda rodada; só testar n=1 não basta.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Asoma 103 já de início e ainda acrescenta 4 por rodada, ignorando a moeda que o jogador 1 transfere.
  • Bsoma o ganho da primeira rodada (3) ao valor inicial e depois de novo 3 por rodada, contando a primeira rodada duas vezes.
  • Cconsidera só as 4 moedas recebidas e esquece de descontar a 1 moeda que ele transfere.
  • Edesconta a moeda transferida no valor inicial (99) mas usa 4 por rodada, o que dá 103 em n=1 e erra a partir de n=2.

Assunto: Progressão aritmética.

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