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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 173 do ENEM 2025

2º dia · Matemática · H13 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Em uma cidade, será construído um túnel que atravessa uma montanha para facilitar o trânsito de automóveis e bicicletas. Dois projetos foram elaborados e os esquemas com as vistas frontais desses projetos são apresentados na figura.

Esquemas das vistas frontais dos túneis nos Projetos 1 e 2. O Projeto 1 apresenta dois túneis em formato semicircular: o "Túnel para automóveis", com diâmetro de 12 m dividido igualmente em faixas de volta e ida, e o "Túnel para bicicletas", com diâmetro de 6 m dividido igualmente em faixas de volta e ida. O Projeto 2 apresenta um único "Túnel de uso misto", também em formato semicircular, com diâmetro total de 18 m subdividido da esquerda para a direita em faixas de 3 m (volta), 6 m (volta), 6 m (ida) e 3 m (ida).

O Projeto 1 conta com dois túneis, um exclusivo para bicicletas e o outro, para automóveis. O Projeto 2 conta com um único túnel, com espaços reservados para o trânsito exclusivo de bicicletas e automóveis. Nos dois projetos, os túneis têm o formato de semicilindro reto de mesma extensão, com vias de ida e volta para os dois tipos de veículos, separados por muretas.

O projeto a ser aprovado será aquele que apresentar a menor área da seção transversal, pois implicará menor volume de material retirado da montanha.

Considere 3 como aproximação para \pi e desconsidere as espessuras das muretas.

O projeto a ser aprovado é

  1. A
    o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 67{,}5\text{ m}^2.
  2. B
    o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 121{,}5\text{ m}^2.
  3. C
    o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 135\text{ m}^2.
  4. D
    o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 243\text{ m}^2.
  5. E
    qualquer um dos dois, pois apresentam áreas de suas seções transversais com medidas iguais.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A seção transversal de cada túnel é um semicírculo, cuja área é \frac{\pi r^2}{2}. Como os túneis são semicilindros de mesma extensão, o de menor área de seção tem menor volume escavado. Usamos \pi = 3.

Projeto 1 (dois túneis):

  1. Túnel de automóveis: diâmetro 12 m, raio 6 m. Área =\frac{3\cdot 6^2}{2}=\frac{108}{2}=54\ \text{m}^2.
  2. Túnel de bicicletas: diâmetro 6 m, raio 3 m. Área =\frac{3\cdot 3^2}{2}=\frac{27}{2}=13{,}5\ \text{m}^2.
  3. Total: 54+13{,}5=67{,}5\ \text{m}^2.

Projeto 2 (um túnel): o diâmetro é a soma 3+6+6+3=18 m, então o raio é 9 m. Área =\frac{3\cdot 9^2}{2}=\frac{243}{2}=121{,}5\ \text{m}^2.

Comparando, 67{,}5 < 121{,}5. O Projeto 1 escava menos material e deve ser aprovado, com área de 67{,}5\ \text{m}^2.

Alternativa A.

Pegadinha: Como os diâmetros somam 18 m nos dois projetos (12+6 e 18), parece que as áreas seriam iguais (alternativa E), mas a área depende do quadrado do raio.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BCalcula corretamente a área do Projeto 2, mas ele é maior, então não é o aprovado.
  • CUsa área do círculo inteiro no Projeto 1 (2 × 67,5), esquecendo de dividir por 2.
  • DUsa círculo inteiro no Projeto 2 (2 × 121,5) e escolhe o projeto de maior área.
  • EAs áreas são diferentes (67,5 m² contra 121,5 m²); somar os diâmetros não iguala as áreas.

Assunto: Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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