Questão 172 do ENEM 2025

2º dia · Matemática

Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna P, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização t, em hora, e de um parâmetro positivo K, que define o modelo da máquina, segundo a expressão:

P = 4 \cdot \log[-K \cdot (t + 1) \cdot (t - 19)]

O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento.

O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro K, atendendo à recomendação do fabricante.

O maior valor a ser escolhido para K é

  1. A
    10^{0{,}5}
  2. B
    10^8
  3. C
    \dfrac{10^{2{,}5}}{84}
  4. D
    \dfrac{10^{2{,}5}}{99}
  5. E
    25 \times 10^{-2}
Resolução comentada

A pressão é P = 4\log[-K(t+1)(t-19)]. Precisamos que P \le 10 em todo o funcionamento, isto é, para 0 \le t \le 10.

  1. Condição: 4\log[\dots] \le 10 \Rightarrow \log[\dots] \le 2{,}5 \Rightarrow -K(t+1)(t-19) \le 10^{2{,}5}.

  2. Como K>0, o valor de -(t+1)(t-19) = (t+1)(19-t) é positivo no intervalo. Ele forma uma parábola com concavidade para baixo e raízes -1 e 19, cujo vértice está em t = \dfrac{-1+19}{2} = 9.

  3. Em [0,10], o máximo ocorre em t=9: (9+1)(19-9) = 10 \cdot 10 = 100.

  4. Logo, a pressão máxima corresponde a K \cdot 100 \le 10^{2{,}5}, ou seja, K \le \dfrac{10^{2{,}5}}{100} = 10^{0{,}5}.

Como o vértice t=9 está dentro do período de 10 horas, é ele que limita K, e não os extremos (t=0 dá 19; t=10 dá 11\cdot 9=99).

O maior valor de K é 10^{0{,}5}.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem toma o fim do período (t=10, produto 99) como o pior caso, esquecendo que o máximo da parábola está em t=9.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BNão tem relação com a condição K\cdot 100 \le 10^{2{,}5}; parece confundir expoentes.
  • CUsa 84 como valor máximo do produto, que não corresponde a nenhum ponto de máximo do intervalo.
  • DUsa t=10 (produto 99) como se fosse o máximo, ignorando que o vértice em t=9 dá 100.
  • EValor sem base na condição; não resulta de dividir 10^{2{,}5} pelo máximo.

Assuntos: função quadrática, logaritmo, valor máximo.

Ver como caiu na prova Questão 172 no caderno Azul do ENEM 2025

Nos cadernos: Amarelo 176Cinza 169Azul 172Verde 179Laranja 169Roxo 169