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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 155 do ENEM 2025

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Dez casais fundaram um grupo de dança e decidiram constituir uma diretoria com três cargos: presidente, secretário e tesoureiro. Para maior representatividade, decidiu-se que no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria.

Quantas diretorias diferentes podem ser constituídas por esses 10 casais?

  1. A
    10 \times 9 \times 8
  2. B
    20 \times 18 \times 16
  3. C
    20 \times 19 \times 18
  4. D
    10 \times 9 \times 8 \times 2
  5. E
    20 \times 18 \times 16 \times 2
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Resolução comentada

Há 20 pessoas (10 casais), e os três cargos são distintos, então a ordem importa. A restrição é que duas pessoas do mesmo casal não podem ocupar cargos ao mesmo tempo.

Monte a diretoria escolhendo um cargo por vez:

  1. Presidente: qualquer uma das 20 pessoas, ou seja, 20 opções.
  2. Secretário: não pode ser o presidente nem o cônjuge dele. Sobram 20 - 2 = 18 opções.
  3. Tesoureiro: não pode ser nenhum dos dois casais já usados. Saem 4 pessoas, e sobram 20 - 4 = 16 opções.

Pelo princípio multiplicativo, o total é:

20 \times 18 \times 16

Conferindo por outro caminho: escolhemos 3 casais distintos e ordenamos os cargos entre eles, o que dá 10 \times 9 \times 8 maneiras. Depois, em cada casal, escolhemos quem participa (2 opções), e isso vale para os 3 casais: 2^3 = 8. Então 720 \times 8 = 5760, e 20 \times 18 \times 16 = 5760. Os dois métodos coincidem.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana ao ignorar a restrição de casais, tratando a questão como um arranjo simples de 20 pessoas.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConta só a escolha dos casais e ignora que, em cada casal, qualquer das duas pessoas pode ocupar o cargo.
  • CIgnora a restrição: só retira a pessoa já escolhida, permitindo dois membros do mesmo casal.
  • DMultiplica por 2 apenas uma vez, mas a escolha da pessoa do casal ocorre nos três cargos (2^3).
  • EMultiplica por 2 a mais, contando duas vezes a escolha dentro dos casais, pois 20\times18\times16 já a inclui.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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