Questão 169 do ENEM 2024

Question

A criptografia refere-se à construção e análise de protocolos que impedem terceiros de lerem mensagens privadas. Júlio César, imperador romano, utilizava um código para proteger as mensagens enviadas a seus generais. Assim, se a mensagem caísse em mãos inimigas, a informação não poderia ser compreendida. Nesse código, cada letra do alfabeto era substituída pela letra três posições à frente, ou seja, o “A” era substituído pelo “D”, o “B” pelo “E”, o “C” pelo “F”, e assim sucessivamente.

Tira superior com as letras do texto codificado de A a Z seguidas de A, B e C, com setas verticais apontando para cima
Tira inferior com as letras do texto original de A a Z, com setas verticais saindo de cada letra em direção à tira codificada

Disponível em: www.codifica.ibict.br. Acesso em: 15 out. 2019.

Qualquer código que tenha um padrão de substituição de letras como o descrito é considerado uma Cifra de César ou um Código de César. Note que, para decifrar uma Cifra de César, basta descobrir por qual letra o “A” foi substituído, pois isso define todas as demais substituições a serem feitas.

Uma mensagem, em um alfabeto de 26 letras, foi codificada usando uma Cifra de César. Considere a probabilidade de se descobrir, aleatoriamente, o padrão utilizado nessa codificação, e que uma tentativa frustrada deverá ser eliminada nas tentativas seguintes.

A probabilidade de se descobrir o padrão dessa Cifra de César apenas na terceira tentativa é dada por

A
\dfrac{1}{25} + \dfrac{1}{25} + \dfrac{1}{25}
B
\dfrac{24}{25} + \dfrac{23}{24} + \dfrac{1}{23}
C
\dfrac{1}{25} \times \dfrac{1}{24} \times \dfrac{1}{23}
D
\dfrac{24}{25} \times \dfrac{23}{25} \times \dfrac{1}{25}
E
\dfrac{24}{25} \times \dfrac{23}{24} \times \dfrac{1}{23}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 169 do ENEM 2024

2º dia · Matemática · H28 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

A criptografia refere-se à construção e análise de protocolos que impedem terceiros de lerem mensagens privadas. Júlio César, imperador romano, utilizava um código para proteger as mensagens enviadas a seus generais. Assim, se a mensagem caísse em mãos inimigas, a informação não poderia ser compreendida. Nesse código, cada letra do alfabeto era substituída pela letra três posições à frente, ou seja, o “A” era substituído pelo “D”, o “B” pelo “E”, o “C” pelo “F”, e assim sucessivamente.

Tira superior com as letras do texto codificado de A a Z seguidas de A, B e C, com setas verticais apontando para cima
Tira inferior com as letras do texto original de A a Z, com setas verticais saindo de cada letra em direção à tira codificada

Disponível em: www.codifica.ibict.br. Acesso em: 15 out. 2019.

Qualquer código que tenha um padrão de substituição de letras como o descrito é considerado uma Cifra de César ou um Código de César. Note que, para decifrar uma Cifra de César, basta descobrir por qual letra o “A” foi substituído, pois isso define todas as demais substituições a serem feitas.

Uma mensagem, em um alfabeto de 26 letras, foi codificada usando uma Cifra de César. Considere a probabilidade de se descobrir, aleatoriamente, o padrão utilizado nessa codificação, e que uma tentativa frustrada deverá ser eliminada nas tentativas seguintes.

A probabilidade de se descobrir o padrão dessa Cifra de César apenas na terceira tentativa é dada por

A
\dfrac{1}{25} + \dfrac{1}{25} + \dfrac{1}{25}
B
\dfrac{24}{25} + \dfrac{23}{24} + \dfrac{1}{23}
C
\dfrac{1}{25} \times \dfrac{1}{24} \times \dfrac{1}{23}
D
\dfrac{24}{25} \times \dfrac{23}{25} \times \dfrac{1}{25}
E
\dfrac{24}{25} \times \dfrac{23}{24} \times \dfrac{1}{23}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Numa Cifra de César, o padrão é definido pela letra que substitui o "A". Há 26 letras possíveis, mas uma delas é a substituição "A" por "A", que não altera nada e não é uma codificação de fato. Por isso o enunciado, ao dar os denominadores, trabalha com 25 possibilidades para o deslocamento. Só uma delas está correta.

Como cada tentativa errada é eliminada, os casos favoráveis e os totais diminuem a cada tentativa. Acertar só na terceira vez significa errar na 1ª, errar na 2ª e acertar na 3ª.

1ª tentativa: 25 opções, 24 erradas. Probabilidade de errar: \dfrac{24}{25}.
2ª tentativa: sobram 24 opções, 23 erradas. Probabilidade de errar: \dfrac{23}{24}.
3ª tentativa: sobram 23 opções, 1 certa. Probabilidade de acertar: \dfrac{1}{23}.

As etapas são sucessivas, então multiplicamos:

\dfrac{24}{25}\times\dfrac{23}{24}\times\dfrac{1}{23}=\dfrac{1}{25}

O resultado mostra que cada posição tem a mesma chance, \dfrac{1}{25}, de ser a correta. O produto que representa o raciocínio é o da alternativa E.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa B usa as frações corretas, mas com soma no lugar de produto; a D esquece de reduzir o denominador após eliminar as tentativas erradas.

Por que as outras alternativas estão erradas

Asoma três vezes 1/25, sem considerar que as tentativas são sucessivas e que é preciso errar as duas primeiras.
Bsoma as probabilidades em vez de multiplicá-las, embora as frações estejam certas.
Cusa a probabilidade de acertar em todas as três tentativas, e não de errar duas e acertar a terceira.
Dmantém o denominador 25 nas três tentativas, ignorando que as tentativas erradas são eliminadas.

Assunto: Eventos sucessivos e distribuição binomial.

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