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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 176 do ENEM 2023

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Sequências e padrões

Os números figurados pentagonais provavelmente foram introduzidos pelos pitagóricos por volta do século V a.C. As figuras ilustram como obter os seis primeiros deles, sendo os demais obtidos seguindo o mesmo padrão geométrico.

Representação geométrica dos seis primeiros números pentagonais: 1 (um ponto isolado), 5 (um pentágono com 5 pontos), 12 (dois pentágonos aninhados contendo 12 pontos no total), 22 (três pentágonos aninhados com 22 pontos), 35 (quatro pentágonos aninhados com 35 pontos) e 51 (cinco pentágonos aninhados com 51 pontos). As camadas pentagonais alternam entre tons de cinza claro e escuro.

O oitavo número pentagonal é

  1. A
    59.
  2. B
    83.
  3. C
    86.
  4. D
    89.
  5. E
    92.
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Resolução comentada

Os números dados são 1, 5, 12, 22, 35, 51. Cada número novo é o anterior mais uma camada de pontos, então vamos ver como essa camada cresce.

Diferenças entre termos consecutivos:

5-1=4, 12-5=7, 22-12=10, 35-22=13, 51-35=16.

As diferenças formam uma progressão aritmética de razão 3 (4, 7, 10, 13, 16, ...). Basta continuar o padrão:

  1. Sétimo número: 51+19=70
  2. Oitavo número: 70+22=92

Conferindo com a fórmula dos números pentagonais, P_n=\dfrac{n(3n-1)}{2}: para n=8, P_8=\dfrac{8\cdot 23}{2}=92. Confere também com n=6: \dfrac{6\cdot 17}{2}=51.

O oitavo número pentagonal é 92.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o padrão; não segue a soma das camadas crescentes.
  • BErro de soma ao acumular as diferenças, ficando abaixo do valor correto.
  • CUsa acréscimos menores que os corretos (por exemplo, para o sétimo, 19, e depois 16).
  • DErra a razão das diferenças ao passar do sétimo para o oitavo termo.

Assunto: Sequências e padrões.

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