Questão 172 do ENEM 2023

Question

Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores a, b e c são, respectivamente, os diâmetros dos círculos C_1, C_2 e C_3, como apresentados na figura.

Triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa a, com três círculos traçados tendo cada um desses lados como diâmetro: Círculo C1 de diâmetro a, Círculo C2 de diâmetro b e Círculo C3 de diâmetro c.

Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que \text{área } (C_1) = \text{área } (C_2) + \text{área } (C_3).

Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.

Três semicírculos dispostos de modo que suas bases retas (diâmetros) formam os lados de um triângulo. Dois semicírculos menores são rotulados como "Meia pizza do amigo 1" e "Meia pizza do amigo 2", e o semicírculo maior é rotulado como "Meia pizza do professor de matemática". O ângulo interno do triângulo oposto ao diâmetro da meia pizza do professor é indicado por alfa.

A partir da medida do ângulo \alpha, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.

A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois

A
0^\circ < \alpha < 90^\circ
B
\alpha = 90^\circ
C
90^\circ < \alpha < 180^\circ
D
\alpha = 180^\circ
E
180^\circ < \alpha < 360^\circ

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 172 do ENEM 2023

2º dia · Matemática · H13 · Matemática: Lei dos senos e lei dos cossenos

Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores a, b e c são, respectivamente, os diâmetros dos círculos C_1, C_2 e C_3, como apresentados na figura.

Triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa a, com três círculos traçados tendo cada um desses lados como diâmetro: Círculo C1 de diâmetro a, Círculo C2 de diâmetro b e Círculo C3 de diâmetro c.

Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que \text{área } (C_1) = \text{área } (C_2) + \text{área } (C_3).

Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.

Três semicírculos dispostos de modo que suas bases retas (diâmetros) formam os lados de um triângulo. Dois semicírculos menores são rotulados como "Meia pizza do amigo 1" e "Meia pizza do amigo 2", e o semicírculo maior é rotulado como "Meia pizza do professor de matemática". O ângulo interno do triângulo oposto ao diâmetro da meia pizza do professor é indicado por alfa.

A partir da medida do ângulo \alpha, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.

A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois

A
0^\circ < \alpha < 90^\circ
B
\alpha = 90^\circ
C
90^\circ < \alpha < 180^\circ
D
\alpha = 180^\circ
E
180^\circ < \alpha < 360^\circ

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Área do círculo é proporcional ao quadrado do diâmetro: A=\frac{\pi d^2}{4}. Então comparar as áreas das pizzas equivale a comparar os quadrados dos diâmetros, que são os lados do triângulo.

Seja a o lado da pizza do professor (oposto ao ângulo \alpha) e b, c os lados das pizzas dos amigos. Pela lei dos cossenos:

a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha

A pizza do professor é maior que a soma das outras duas quando a^2>b^2+c^2. Isso ocorre quando -2bc\cos\alpha>0, ou seja, \cos\alpha<0.

No triângulo, \alpha está entre 0^\circ e 180^\circ, e o cosseno é negativo justamente para 90^\circ<\alpha<180^\circ, isto é, ângulo obtuso.

Conferindo os outros casos: se \alpha=90^\circ, vale Pitágoras e as áreas são iguais; se \alpha<90^\circ, \cos\alpha>0 e a^2<b^2+c^2, então a pizza do professor é menor.

Portanto, o ângulo oposto ao maior diâmetro ser obtuso garante que a pizza do professor é maior.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AÂngulo agudo dá a^2<b^2+c^2, ou seja, a pizza do professor seria menor.
BÂngulo reto dá Pitágoras: área igual à soma, não maior.
D180^\circ não forma triângulo (os pontos ficariam alinhados).
EÂngulo interno de triângulo não passa de 180^\circ.

Assunto: Lei dos senos e lei dos cossenos.

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