Questão 148 do ENEM 2023

Question

O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.

Esquema tridimensional mostrando um mastro vertical com uma bandeira no topo, fixado perpendicularmente a uma superfície plana representando o chão. A partir de um ponto P no mastro, situado a uma altura h do chão, partem três cabos de aço retilíneos fixados ao solo. Cada cabo forma um ângulo alfa com o plano horizontal.

Os cabos de aço formam um ângulo \alpha com o plano do chão.

Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:

• opção I: h = 11\ \text{m} e \alpha = 30^\circ

• opção II: h = 12\ \text{m} e \alpha = 45^\circ

• opção III: h = 18\ \text{m} e \alpha = 60^\circ

A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível.

Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?

A
\dfrac{22\sqrt{3}}{3}
B
11\sqrt{2}
C
12\sqrt{2}
D
12\sqrt{3}
E
22

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 148 do ENEM 2023

2º dia · Matemática · H9 · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.

Esquema tridimensional mostrando um mastro vertical com uma bandeira no topo, fixado perpendicularmente a uma superfície plana representando o chão. A partir de um ponto P no mastro, situado a uma altura h do chão, partem três cabos de aço retilíneos fixados ao solo. Cada cabo forma um ângulo alfa com o plano horizontal.

Os cabos de aço formam um ângulo \alpha com o plano do chão.

Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:

• opção I: h = 11\ \text{m} e \alpha = 30^\circ

• opção II: h = 12\ \text{m} e \alpha = 45^\circ

• opção III: h = 18\ \text{m} e \alpha = 60^\circ

A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível.

Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?

A
\dfrac{22\sqrt{3}}{3}
B
11\sqrt{2}
C
12\sqrt{2}
D
12\sqrt{3}
E
22

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

O cabo, o mastro e o chão formam um triângulo retângulo: o mastro (altura h) é o cateto oposto ao ângulo \alpha, e o cabo de comprimento L é a hipotenusa. Logo, \sen\alpha = \dfrac{h}{L}, ou seja, L = \dfrac{h}{\sen\alpha}.

Calculando cada opção:

Opção I: L = \dfrac{11}{\sen 30^\circ} = \dfrac{11}{1/2} = 22\ \text{m}.
Opção II: L = \dfrac{12}{\sen 45^\circ} = \dfrac{12}{\sqrt{2}/2} = \dfrac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2} \approx 16{,}97\ \text{m}.
Opção III: L = \dfrac{18}{\sen 60^\circ} = \dfrac{18}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \approx 20{,}78\ \text{m}.

Comparando: 16{,}97 < 20{,}78 < 22. O menor comprimento é o da opção II, 12\sqrt{2}\ \text{m}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

A22\sqrt{3}/3 não corresponde a nenhuma das opções; vem de racionalizar errado ou misturar valores.
B11\sqrt{2} mistura a altura da opção I com o ângulo de 45°, combinação que não existe.
D12\sqrt{3} é o cabo da opção III, que é maior que o da opção II.
E22 m é o cabo da opção I, o maior dos três.

Assunto: Trigonometria no triângulo retângulo.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 148 no caderno Azul do ENEM 2023

Nos cadernos: Amarelo 137Cinza 151Azul 148Rosa 176