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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 138 do ENEM 2023

2º dia · Matemática · H30 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20\% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25\%. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.

Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1\%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.

Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?

  1. A
    20
  2. B
    60
  3. C
    64
  4. D
    68
  5. E
    80
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Resolução comentada

Como as retiradas são independentes, a probabilidade de ganhar é o produto das probabilidades de sair preta em cada urna.

  1. Urna B: tem 4 bolinhas pretas e probabilidade de preta igual a 25\%=\frac{1}{4}. Logo, o total é 4\div\frac{1}{4}=16 bolinhas, das quais 12 são brancas.

  2. Urna A: a probabilidade de preta é 20\%=0{,}2 e não muda.

  3. Seja x o número de bolinhas brancas adicionadas à urna B. A probabilidade de preta em B passa a ser \frac{4}{16+x}.

  4. Condição para o voucher:

    0{,}2\cdot\frac{4}{16+x}\leq 0{,}01

  5. Resolvendo:

    \frac{0{,}8}{16+x}\leq 0{,}01 \Rightarrow 16+x\geq 80 \Rightarrow x\geq 64

Portanto, o número mínimo de bolinhas brancas a adicionar é 64. Conferindo: com 80 bolinhas na urna B, a probabilidade de preta é \frac{4}{80}=0{,}05, e 0{,}2\cdot0{,}05=0{,}01=1\%, que satisfaz "menor ou igual a 1%".

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana quem para em 16+x\geq80 e responde 80, esquecendo que 80 é o total de bolinhas, não o número adicionado.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConfunde o cálculo e não chega à probabilidade de 1%; com 20 brancas a urna B teria 36 bolinhas e a probabilidade seria bem maior que 1%.
  • BCom 60 adicionadas, B teria 76 bolinhas e a probabilidade seria 0{,}2\cdot\frac{4}{76}\approx1{,}05\%, ainda acima de 1%.
  • DCom 68 adicionadas a probabilidade fica abaixo de 1%, mas não é o mínimo.
  • EUsa o total final de 80 bolinhas como se fosse o número a adicionar, esquecendo de descontar as 16 já existentes.

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Inequações e desigualdades.

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