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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 174 do ENEM 2022

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Esfera

Peças metálicas de aeronaves abandonadas em aeroportos serão recicladas. Uma dessas peças é maciça e tem o formato cilíndrico, com a medida do raio da base igual a 4 cm e a da altura igual a 50 cm. Ela será derretida, e o volume de metal resultante será utilizado para a fabricação de esferas maciças com diâmetro de 1 cm, a serem usadas para confeccionar rolamentos. Para estimar a quantidade de esferas que poderão ser produzidas a partir de cada uma das peças cilíndricas, admite-se que não ocorre perda de material durante o processo de derretimento.

Quantas dessas esferas poderão ser obtidas a partir de cada peça cilíndrica?

  1. A
    800
  2. B
    1 200
  3. C
    2 400
  4. D
    4 800
  5. E
    6 400
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Resolução comentada

Como não há perda de material, o volume do cilindro é igual ao volume total das esferas. Então o número de esferas é a razão entre os dois volumes.

  1. Volume do cilindro, com r = 4\ \text{cm} e h = 50\ \text{cm}:

    V_c = \pi r^2 h = \pi \cdot 16 \cdot 50 = 800\pi\ \text{cm}^3

  2. Volume de cada esfera: o diâmetro é 1\ \text{cm}, logo o raio é 0{,}5\ \text{cm}.

    V_e = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{1}{8} = \frac{\pi}{6}\ \text{cm}^3

  3. Quantidade de esferas:

    n = \frac{800\pi}{\pi/6} = 800 \cdot 6 = 4\,800

O \pi se cancela, então a conta fica exata.

Alternativa D.

Pegadinha: O enunciado dá o diâmetro (1 cm) da esfera; usar 1 cm como raio muda o volume da esfera para 4\pi/3 e leva a um resultado errado.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa o volume do cilindro sem dividir corretamente, esquecendo o fator 6 (volume da esfera \pi/6).
  • BErro de conta na razão dos volumes, sem correspondência com o cálculo correto.
  • CDivide por \pi/3 (ou usa fator 3) em vez de \pi/6, dando a metade do valor correto.
  • EUsa o diâmetro 1 cm como raio ou outro erro no volume da esfera, sem correspondência com o cálculo correto.

Assuntos: Esfera, Cilindro.

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