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Questão 148 do ENEM 2022

2º dia · Matemática · H15 · Matemática: Grandezas proporcionais e divisão proporcional

A luminosidade L de uma estrela está relacionada com o raio R e com a temperatura T dessa estrela segundo a Lei de Stefan-Boltzmann: L = c \cdot R^2 \cdot T^4, em que c é uma constante igual para todas as estrelas.

Disponível em: http://ciencia.hsw.uol.com.br. Acesso em: 22 nov. 2013 (adaptado).

Considere duas estrelas E e F, sendo que a estrela E tem metade do raio da estrela F e o dobro da temperatura de F.

Indique por L_E e L_F suas respectivas luminosidades.

A relação entre as luminosidades dessas duas estrelas é dada por

  1. A
    L_E = \frac{L_F}{2}
  2. B
    L_E = \frac{L_F}{4}
  3. C
    L_E = L_F
  4. D
    L_E = 4L_F
  5. E
    L_E = 8L_F
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Resolução comentada

A lei diz que L = c\cdot R^2\cdot T^4. Como c é igual para todas as estrelas, basta comparar como R e T de E se relacionam com os de F.

Do enunciado:

  • R_E = \dfrac{R_F}{2}
  • T_E = 2T_F

Substituindo na fórmula de E:

  1. L_E = c\cdot R_E^2\cdot T_E^4
  2. L_E = c\cdot\left(\dfrac{R_F}{2}\right)^2\cdot(2T_F)^4
  3. \left(\dfrac{R_F}{2}\right)^2 = \dfrac{R_F^2}{4} e (2T_F)^4 = 16\,T_F^4
  4. L_E = c\cdot\dfrac{R_F^2}{4}\cdot 16\,T_F^4 = 4\cdot c\cdot R_F^2\cdot T_F^4

Como L_F = c\cdot R_F^2\cdot T_F^4, concluímos que L_E = 4L_F.

O raio entra elevado ao quadrado (divide por 4) e a temperatura elevada à quarta potência (multiplica por 16); o efeito da temperatura vence.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem acha que 'metade do raio' e 'dobro da temperatura' se compensam, esquecendo que os expoentes são diferentes (2 e 4).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão aplica os expoentes: divide por 2 o raio e ignora o efeito da temperatura.
  • BConsidera só o efeito do raio (1/4) e esquece a temperatura.
  • CSupõe que os efeitos se cancelam, sem elevar a temperatura à quarta potência.
  • EErra a potência, por exemplo usando 2^3, ou multiplica 16 por \frac12 em vez de \frac14.

Assuntos: Grandezas proporcionais e divisão proporcional, Potenciação e radiciação.

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