PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 156 do ENEM 2021

2º dia · Matemática · H20

Uma mola é solta da posição distendida conforme a figura. A figura à direita representa o gráfico da posição P (em cm) da massa m em função do tempo t (em segundo) em um sistema de coordenadas cartesianas. Esse movimento periódico é descrito por uma expressão do tipo P(t) = \pm A\cos (\omega t) ou P(t) = \pm A\sen (\omega t), em que A > 0 é a amplitude de deslocamento máximo e \omega é a frequência, que se relaciona com o período T pela fórmula \omega = \dfrac{2\pi}{T}.

Considere a ausência de quaisquer forças dissipativas.

À esquerda, duas molas verticais presas a suportes, cada uma com uma massa m na extremidade inferior. A primeira massa está sobre uma linha horizontal identificada como “Posição de equilíbrio”; a segunda está abaixo dessa linha, com a identificação “Mola distendida”. À direita, gráfico intitulado “Gráfico”, com eixo vertical P e eixo horizontal t. O eixo P apresenta valores de −3 a 3, de uma em uma unidade; o eixo t apresenta as marcações π/2, π, 3π/2, 2π, 5π/2 e 3π. A curva periódica inicia em P = −3 quando t = 0, atinge máximos P = 3 em t = π/2, 3π/2 e 5π/2 e mínimos P = −3 em t = π, 2π e 3π. Há linhas tracejadas de grade e uma continuação tracejada da curva após 3π.

A expressão algébrica que representa as posições P(t) da massa m, ao longo do tempo, no gráfico, é

  1. A
    -3\cos (2t)
  2. B
    -3\sen (2t)
  3. C
    3\cos (2t)
  4. D
    -6\cos (2t)
  5. E
    6\sen (2t)
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Resolução comentada

Para escolher a expressão, precisamos de três informações do gráfico: a amplitude, o período e o valor em t=0.

  1. Amplitude: a curva oscila entre -3 e 3, então A = 3. As alternativas D e E, com 6, ficam descartadas.

  2. Período: os máximos ocorrem em t=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} e \frac{5\pi}{2}. A distância entre dois máximos seguidos é \frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=\pi, logo T=\pi.

  3. Frequência: \omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{\pi}=2. Assim, o argumento é 2t.

  4. Valor inicial: em t=0, a curva está em P=-3, o ponto mais baixo. Vamos testar:

  • \sen(0)=0, então qualquer seno daria P(0)=0. Não serve (descarta B).
  • \cos(0)=1, então precisamos do sinal negativo para obter -3: P(0)=-3\cos 0=-3. Serve.

Conferindo em t=\frac{\pi}{2}: -3\cos(\pi)=-3\cdot(-1)=3, que é o máximo do gráfico. Em t=\pi: -3\cos(2\pi)=-3, que é o mínimo. Tudo bate.

Portanto, P(t)=-3\cos(2t).

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • B-3\sen(2t) vale 0 em t=0, mas o gráfico começa em -3.
  • C3\cos(2t) vale +3 em t=0, o sinal está invertido.
  • DAmplitude 6 não corresponde ao gráfico, que vai só de -3 a 3.
  • EAmplitude 6 e seno, que dá 0 em t=0; ambos contradizem o gráfico.

Assuntos: função cosseno, gráficos de funções trigonométricas, período e amplitude.

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