Questão 152 do ENEM 2021

Question

Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo \Delta e estrela *, definidas sobre o conjunto dos números reais por x\Delta y = x^2 + xy - y^2 e x * y = xy + x.

O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação (a\Delta b) * (b\Delta a) = 0. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada b = 1.

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será

A
\sqrt{5}
B
\sqrt{3}
C
\sqrt{1}
D
\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}
E
\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 152 do ENEM 2021

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Equação do 2º grau

Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo \Delta e estrela *, definidas sobre o conjunto dos números reais por x\Delta y = x^2 + xy - y^2 e x * y = xy + x.

O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação (a\Delta b) * (b\Delta a) = 0. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada b = 1.

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será

A
\sqrt{5}
B
\sqrt{3}
C
\sqrt{1}
D
\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}
E
\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}

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Resolução comentada

Substitua b=1 nas operações e resolva a equação em a.

Calcule a\Delta 1 = a^2 + a\cdot 1 - 1^2 = a^2 + a - 1.
Calcule 1\Delta a = 1^2 + 1\cdot a - a^2 = 1 + a - a^2.
Aplique a estrela, x*y = xy + x = x(y+1), com x = a\Delta 1 e y = 1\Delta a:

(a^2+a-1)\,(1+a-a^2+1) = 0 \Rightarrow (a^2+a-1)(-a^2+a+2)=0

Um produto é zero quando um dos fatores é zero.

Primeiro fator: a^2 + a - 1 = 0, logo a = \dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}, ou seja, \approx 0{,}618 e \approx -1{,}618.

Segundo fator: -a^2 + a + 2 = 0, ou a^2 - a - 2 = 0, logo a = 2 ou a = -1.

As soluções são 2, \dfrac{-1+\sqrt5}{2}\approx 0{,}618, -1 e \dfrac{-1-\sqrt5}{2}\approx -1{,}618.

As duas maiores são 2 e \dfrac{-1+\sqrt5}{2}.

Some-as:

2 + \frac{-1+\sqrt5}{2} = \frac{4-1+\sqrt5}{2} = \frac{3+\sqrt5}{2}

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem esquece o segundo fator e considera só as raízes de a^2+a-1=0, ou soma apenas uma raiz.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com as duas maiores raízes; não resulta da soma pedida.
BValor sem relação com as duas maiores raízes; não resulta da soma pedida.
CVale 1, que não vem da soma das duas maiores soluções (2 e 0,618).
DÉ apenas uma das raízes (a de a^2+a-1=0), esquecendo de somar a raiz 2.

Assunto: Equação do 2º grau.

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