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Questão 146 do ENEM 2021

2º dia · Matemática · H28 · Matemática: Medidas de dispersão

Um zootecnista pretende testar se uma nova ração para coelhos é mais eficiente do que a que ele vem utilizando atualmente. A ração atual proporciona uma massa média de 10 kg por coelho, com um desvio padrão de 1 kg, alimentado com essa ração durante um período de três meses.

O zootecnista selecionou uma amostra de coelhos e os alimentou com a nova ração pelo mesmo período de tempo. Ao final, anotou a massa de cada coelho, obtendo um desvio padrão de 1,5 kg para a distribuição das massas dos coelhos dessa amostra.

Para avaliar a eficiência dessa ração, ele utilizará o coeficiente de variação (CV) que é uma medida de dispersão definida por CV = \frac{s}{\overline{x}}, em que s representa o desvio padrão e \overline{x}, a média das massas dos coelhos que foram alimentados com uma determinada ração.

O zootecnista substituirá a ração que vinha utilizando pela nova, caso o coeficiente de variação da distribuição das massas dos coelhos que foram alimentados com a nova ração for menor do que o coeficiente de variação da distribuição das massas dos coelhos que foram alimentados com a ração atual.

A substituição da ração ocorrerá se a média da distribuição das massas dos coelhos da amostra, em quilograma, for superior a

  1. A
    5,0.
  2. B
    9,5.
  3. C
    10,0.
  4. D
    10,5.
  5. E
    15,0.
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Resolução comentada

O coeficiente de variação compara a dispersão com a média: CV = \frac{s}{\overline{x}}. Quanto menor o CV, mais homogêneas são as massas em relação à média.

Passo a passo:

  1. CV da ração atual: CV_{atual} = \frac{1}{10} = 0{,}1.

  2. CV da nova ração, com média \overline{x} desconhecida: CV_{nova} = \frac{1{,}5}{\overline{x}}.

  3. A substituição ocorre se CV_{nova} < CV_{atual}:

\frac{1{,}5}{\overline{x}} < 0{,}1
  1. Como \overline{x} > 0, podemos multiplicar os dois lados por \overline{x} sem inverter a desigualdade:
1{,}5 < 0{,}1\,\overline{x}
  1. Dividindo por 0{,}1:
\overline{x} > 15

Logo, a média das massas da amostra precisa ser superior a 15 kg. Faz sentido: com desvio padrão maior (1,5 kg), a média também precisa ser maior para que a dispersão relativa diminua.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C engana ao sugerir que a nova ração só precisa ter média maior que a atual; o critério é o CV, e o desvio padrão maior exige média bem mais alta.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACalcula 1,5 ÷ 0,3 ou usa algum valor arbitrário; não resolve a desigualdade 1,5/x < 0,1.
  • BSubtrai o desvio padrão da nova ração da média atual, sem usar o coeficiente de variação.
  • CSupõe que basta a média superar a da ração atual, ignorando o aumento do desvio padrão.
  • DSoma a diferença dos desvios (0,5) à média atual, sem comparar as razões.

Assuntos: Medidas de dispersão, Inequações e desigualdades.

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