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Questão 136 do ENEM 2021

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Sequências e padrões

Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega \varphi, e seu valor é dado pela solução positiva da equação \varphi^2 = \varphi + 1.

Assim como a potência \varphi^2, as potências superiores de \varphi podem ser expressas da forma a\varphi + b, em que a e b são inteiros positivos, como apresentado no quadro.

\varphi^2 \varphi^3 \varphi^4 \varphi^5 \varphi^6 \varphi^7
\varphi + 1 2\varphi + 1 3\varphi + 2 5\varphi + 3 8\varphi + 5 \ldots

A potência \varphi^7, escrita na forma a\varphi + b (a e b são inteiros positivos), é

  1. A
    5\varphi + 3
  2. B
    7\varphi + 2
  3. C
    9\varphi + 6
  4. D
    11\varphi + 7
  5. E
    13\varphi + 8
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Resolução comentada

A ideia é usar a própria equação \varphi^2 = \varphi + 1 para reduzir qualquer potência à forma a\varphi + b. Se sabemos \varphi^n = a\varphi + b, multiplicamos por \varphi:

\varphi^{n+1} = a\varphi^2 + b\varphi = a(\varphi + 1) + b\varphi = (a+b)\varphi + a

Ou seja, o novo coeficiente de \varphi é a soma a+b e o novo termo independente é o a anterior.

Conferindo com o quadro: de \varphi^5 = 5\varphi + 3 obtemos \varphi^6 = (5+3)\varphi + 5 = 8\varphi + 5, que bate com a tabela.

Aplicando a \varphi^6 = 8\varphi + 5:

  1. a = 8 e b = 5;
  2. novo coeficiente de \varphi: 8 + 5 = 13;
  3. novo termo independente: 8.

Logo, \varphi^7 = 13\varphi + 8.

Os coeficientes formam a sequência de Fibonacci (1, 2, 3, 5, 8, 13...), o que confirma o resultado.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÉ o valor de \varphi^5, duas potências antes.
  • BNão segue a regra (a+b)\varphi + a; os valores são inventados sem cálculo.
  • CNão corresponde à recorrência; coeficientes 9 e 6 não aparecem na sequência.
  • DErra a soma dos coeficientes (8+5 não dá 11) e o termo independente (deveria ser 8).

Assuntos: Sequências e padrões, Potenciação e radiciação.

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