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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 163 do ENEM 2020

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Permutações

Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”.

Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras.

Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por

  1. A
    9!
  2. B
    4!\text{ }5!
  3. C
    2 \times 4!\text{ }5!
  4. D
    \frac{9!}{2}
  5. E
    \frac{4!\text{ }5!}{2}
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Resolução comentada

Sem os espaços, a frase "I AM POTTER" vira IAMPOTTER, com 9 letras.

Separando vogais e consoantes:

  • Vogais: I, A, O, E, ou seja, 4 vogais, todas diferentes.
  • Consoantes: M, P, T, T, R, ou seja, 5 consoantes, com o T repetido duas vezes.

Com 9 letras alternadas, as posições ímpares (1, 3, 5, 7, 9) são 5 e as pares (2, 4, 6, 8) são 4. Como há 5 consoantes e 4 vogais, a sequência só pode começar e terminar em consoante: C V C V C V C V C. Esse padrão é o único possível, então não há fator 2.

  1. Vogais nas 4 posições delas: 4! maneiras.
  2. Consoantes nas 5 posições delas: como o T aparece duas vezes, é permutação com repetição, \frac{5!}{2!}=\frac{5!}{2}.
  3. Pelo princípio multiplicativo: 4!\cdot\frac{5!}{2}=\frac{4!\,5!}{2}.

Conferindo: 24\cdot 60 = 1440, e \frac{24\cdot120}{2}=1440.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa B engana quem esquece que o T aparece duas vezes; a C engana quem multiplica por 2 achando que pode começar por vogal.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConta todas as permutações das 9 letras, ignorando a exigência de alternar e a repetição do T.
  • BEsquece de dividir por 2! por causa do T repetido.
  • CMultiplica por 2 como se pudesse começar por vogal ou consoante, mas com 5 consoantes e 4 vogais só há um padrão, e ainda ignora o T repetido.
  • DDivide 9! por 2 pelo T repetido, mas ignora a alternância entre vogais e consoantes.

Assunto: Permutações.

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Nos cadernos: Amarelo 170Cinza 150Azul 163Rosa 156