Questão 161 do ENEM 2020

O volume de um cilindro é V = \pi r^2 h. Como as duas caixas têm o mesmo volume, podemos igualar as expressões.

Sejam R e h o raio e a altura da caixa A. Para a caixa B, a altura é 25% de h, ou seja, h_B = 0{,}25h = \dfrac{h}{4}, e o raio é r_B, que queremos descobrir.

1. Volume de A: V_A = \pi R^2 h
2. Volume de B: V_B = \pi r_B^2 \cdot \dfrac{h}{4}
3. Igualando: \pi R^2 h = \pi r_B^2 \cdot \dfrac{h}{4}
4. Cortando \pi e h dos dois lados: R^2 = \dfrac{r_B^2}{4}
5. Logo r_B^2 = 4R^2
6. Tirando a raiz quadrada (o raio é positivo): r_B = 2R

Faz sentido: a caixa B é bem mais baixa, então precisa ser mais larga para guardar o mesmo volume. Note que a altura ficou dividida por 4, mas o raio só dobra, porque ele aparece elevado ao quadrado no volume.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana quem esquece que o raio entra ao quadrado no volume: a altura cai por um fator 4 e o aluno multiplica o raio por 4, em vez de tirar a raiz e obter 2.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AInverte a relação: o raio deveria aumentar, pois a altura de B é menor, e não diminuir.
• CEsquece que o raio está ao quadrado no volume e usa o fator 4 diretamente, sem tirar a raiz quadrada.
• DNão tem base na conta; talvez confunda 25% com 1/5 da altura, o que daria raio \sqrt{5}R, e nem assim seria 5R.
• EEleva o fator 4 ao quadrado em vez de tirar a raiz, chegando a 16.

Assuntos: Cilindro, Grandezas proporcionais e divisão proporcional, Porcentagem.

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