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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 175 do ENEM 2019

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Cilindro

Uma construtora pretende conectar um reservatório central (\text{R}_{\text{c}}) em formato de um cilindro, com raio interno igual a 2\text{ m} e altura interna igual a 3{,}30\text{ m}, a quatro reservatórios cilíndricos auxiliares (\text{R}_1, \text{R}_2, \text{R}_3 e \text{R}_4), os quais possuem raios internos e alturas internas medindo 1{,}5\text{ m}.

Esquema com um reservatório central cilíndrico rotulado Rc conectado na base por quatro canos cilíndricos a quatro reservatórios cilíndricos menores distribuídos ao seu redor, rotulados R1, R2, R3 e R4.

As ligações entre o reservatório central e os auxiliares são feitas por canos cilíndricos com 0{,}10\text{ m} de diâmetro interno e 20\text{ m} de comprimento, conectados próximos às bases de cada reservatório. Na conexão de cada um desses canos com o reservatório central há registros que liberam ou interrompem o fluxo de água.

No momento em que o reservatório central está cheio e os auxiliares estão vazios, abrem-se os quatro registros e, após algum tempo, as alturas das colunas de água nos reservatórios se igualam, assim que cessa o fluxo de água entre eles, pelo princípio dos vasos comunicantes.

A medida, em metro, das alturas das colunas de água nos reservatórios auxiliares, após cessar o fluxo de água entre eles, é

  1. A
    1{,}44.
  2. B
    1{,}16.
  3. C
    1{,}10.
  4. D
    1{,}00.
  5. E
    0{,}95.
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Resolução comentada

Como a água só muda de lugar, o volume total se conserva. Depois de igualadas as alturas, todos os reservatórios têm a mesma altura h de água, e o volume de um cilindro é \pi r^2 h.

  1. Volume inicial, todo no reservatório central: V = \pi \cdot 2^2 \cdot 3{,}3 = 13{,}2\pi\ \text{m}^3.

  2. Volume final: o central e os quatro auxiliares têm a mesma altura h.

    V = \pi\cdot 2^2\cdot h + 4\cdot\pi\cdot(1{,}5)^2\cdot h = 4\pi h + 9\pi h = 13\pi h

  3. Igualando: 13\pi h = 13{,}2\pi, então h = \dfrac{13{,}2}{13} \approx 1{,}015 m.

O resultado é próximo de 1{,}00 m. Mas há um detalhe: os canos também ficam cheios de água. Cada um tem raio 0{,}05 m e comprimento 20 m, então o volume de cada cano é \pi\cdot 0{,}05^2\cdot 20 = 0{,}05\pi\ \text{m}^3. Os quatro canos somam 0{,}2\pi.

  1. Com os canos cheios, o volume nos reservatórios é 13{,}2\pi - 0{,}2\pi = 13\pi.

  2. Então 13\pi h = 13\pi, e h = 1{,}00 m.

A altura nos reservatórios auxiliares, e também no central, é 1{,}00 m.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa D exige descontar o volume de água que ocupa os quatro canos; ignorar os canos leva a cerca de 1,015 m, valor que induz a arredondar para outra opção.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem base em conta coerente; não corresponde à conservação do volume.
  • BResultado sem sentido físico; não sai da conservação do volume nem do cálculo com os canos.
  • CValor sem base na conservação do volume; não decorre de nenhum cálculo correto.
  • EResultado que não vem da equação de volumes; erro de conta ou de raciocínio.

Assunto: Cilindro.

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