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Questão 163 do ENEM 2019

2º dia · Matemática · H4 · Matemática: Potenciação e radiciação

O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para classificar os países pelo seu grau de desenvolvimento. Para seu cálculo, são levados em consideração a expectativa de vida ao nascer, tempo de escolaridade e renda per capita, entre outros. O menor valor deste índice é zero e o maior é um. Cinco países foram avaliados e obtiveram os seguintes índices de desenvolvimento humano: o primeiro país recebeu um valor X, o segundo \sqrt{X}, o terceiro X^{\frac{1}{3}}, o quarto X^2 e o último X^3. Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo.

Qual desses países obteve o maior IDH?

  1. A
    O primeiro.
  2. B
    O segundo.
  3. C
    O terceiro.
  4. D
    O quarto.
  5. E
    O quinto.
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Resolução comentada

O IDH de cada país está entre 0 e 1, sem incluir os extremos. Ou seja, 0 < X < 1.

O ponto central é o que acontece com potências de um número entre 0 e 1: quanto maior o expoente, menor o resultado. Por exemplo, com X = 0{,}5:

X^2 = 0{,}25 < X = 0{,}5

Elevar a um expoente menor que 1 (ou tirar raiz) faz o número crescer, aproximando-o de 1.

Escrevendo todos os valores como potências de X:

  1. Primeiro país: X = X^1
  2. Segundo país: \sqrt{X} = X^{\frac{1}{2}}
  3. Terceiro país: X^{\frac{1}{3}}
  4. Quarto país: X^2
  5. Quinto país: X^3

Os expoentes, do maior para o menor, são 3 > 2 > 1 > \frac{1}{2} > \frac{1}{3}. Como a base está entre 0 e 1, a ordem dos resultados se inverte:

X^3 < X^2 < X < X^{\frac{1}{2}} < X^{\frac{1}{3}}

Conferindo com X = 0{,}125: X^3 \approx 0{,}002; X^2 \approx 0{,}016; X = 0{,}125; \sqrt{X} \approx 0{,}354; X^{1/3} = 0{,}5. A ordem confirma.

O maior IDH é o de menor expoente, X^{\frac{1}{3}}, que é o do terceiro país.

Alternativa C.

Pegadinha: As alternativas D e E enganam quem aplica a regra de números maiores que 1 (maior expoente, maior resultado), esquecendo que a base está entre 0 e 1.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO valor X fica no meio da ordem; é menor que \sqrt{X} e que X^{1/3} quando 0<X<1.
  • B\sqrt{X} é maior que X, mas ainda menor que X^{1/3}.
  • DSupõe que elevar ao quadrado aumenta o valor, o que só vale para X>1; aqui X^2<X.
  • ESupõe que o maior expoente dá o maior valor, mas com 0<X<1 X^3 é o menor de todos.

Assunto: Potenciação e radiciação.

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