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Questão 178 do ENEM 2018

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Durante uma festa de colégio, um grupo de alunos organizou uma rifa. Oitenta alunos faltaram à festa e não participaram da rifa. Entre os que compareceram, alguns compraram três bilhetes, 45 compraram 2 bilhetes, e muitos compraram apenas um. O total de alunos que comprou um único bilhete era 20\% do número total de bilhetes vendidos, e o total de bilhetes vendidos excedeu em 33 o número total de alunos do colégio.

Quantos alunos compraram somente um bilhete?

  1. A
    34
  2. B
    42
  3. C
    47
  4. D
    48
  5. E
    79
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Resolução comentada

Sejam x o número de alunos que compraram 3 bilhetes, y o número dos que compraram 1 bilhete e T o total de bilhetes vendidos.

Os alunos que compraram 2 bilhetes são 45. Os que compareceram são x + 45 + y, e o total de alunos do colégio é esse número mais os 80 que faltaram.

  1. Bilhetes vendidos: T = 3x + 2\cdot 45 + y = 3x + 90 + y.
  2. Os que compraram um bilhete são 20\% do total: y = 0{,}2\,T, ou seja, T = 5y.
  3. O total de bilhetes excede em 33 o número de alunos: T = (x + 45 + y + 80) + 33 = x + y + 158.

Igualando as duas expressões de T com T = 5y:

5y = 3x + 90 + y \Rightarrow 4y = 3x + 90
5y = x + y + 158 \Rightarrow 4y = x + 158 \Rightarrow x = 4y - 158

Substituindo x na primeira equação:

4y = 3(4y - 158) + 90 = 12y - 474 + 90 = 12y - 384
8y = 384 \Rightarrow y = 48

Verificação: x = 4\cdot 48 - 158 = 34 e T = 5\cdot 48 = 240. Pela contagem de bilhetes, 3\cdot 34 + 90 + 48 = 240. ✓ Pelo total de alunos, 34 + 45 + 48 + 80 = 207, e 207 + 33 = 240. ✓

Portanto, 48 alunos compraram somente um bilhete.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa A (34) engana quem calcula o número de alunos com três bilhetes e para sem responder o que foi perguntado.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÉ o número de alunos que compraram três bilhetes (x=34), não os que compraram um só.
  • BNão resulta do sistema; aparece de erro de conta ao montar as equações.
  • CNão satisfaz as condições: com y=47, T=235 e x não fecha a contagem de bilhetes.
  • ENão satisfaz o sistema; é um valor sem relação com as equações do problema.

Assuntos: Equações do 1º grau e problemas, Porcentagem.

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