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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 170 do ENEM 2018

2º dia · Matemática · H19 · Matemática: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas

Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada em Las Vegas. A figura representa um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto A representa uma de suas cadeiras:

Esboço de uma roda-gigante com centro O e uma cadeira A alinhada horizontalmente com o centro, com indicação de rotação no sentido anti-horário

Disponível em: http://en.wikipedia.org. Acesso em: 22 abr. 2014 (adaptado).

A partir da posição indicada, em que o segmento OA se encontra paralelo ao plano do solo, rotaciona-se a High Roller no sentido anti-horário, em torno do ponto O. Sejam t o ângulo determinado pelo segmento OA em relação à sua posição inicial, e f a função que descreve a altura do ponto A, em relação ao solo, em função de t.

Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfico:

Gráfico da função altura f em metros em função do ângulo t em radianos, partindo de 88 em t = 0, atingindo máximo de 168 em pi/2 e completando dois ciclos até 4pi

A expressão da função altura é dada por

  1. A
    f(t) = 80 \sen(t) + 88
  2. B
    f(t) = 80 \cos(t) + 88
  3. C
    f(t) = 88 \cos(t) + 168
  4. D
    f(t) = 168 \sen(t) + 88 \cos(t)
  5. E
    f(t) = 88 \sen(t) + 168 \cos(t)
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Resolução comentada

A altura do ponto A é a de um movimento circular: uma função do tipo f(t)=a\,\sen(t)+c ou a\,\cos(t)+c. O termo c é a altura do centro O, e a é o raio (a amplitude).

Lendo o gráfico:

  1. Em t=0, f=88. O segmento OA está na horizontal, então A está na altura do centro: c=88 m.
  2. O máximo é 168 m, em t=\pi/2. A amplitude é a diferença entre o máximo e o centro: a=168-88=80 m, que é o raio da roda.
  3. Qual função usar? Em t=0 o gráfico vale 88, isto é, está na altura média, e depois sobe até o máximo em \pi/2. Isso é o comportamento do seno, pois \sen(0)=0 e \sen(\pi/2)=1. O cosseno começaria no máximo, o que não ocorre.
  4. O período é 2\pi (uma volta), compatível com \sen(t), sem alterar o argumento. Duas voltas dão 4\pi, como no gráfico.

Assim, f(t)=80\,\sen(t)+88.

Conferindo: f(0)=88; f(\pi/2)=80+88=168; o mínimo seria 88-80=8 m, valor positivo e coerente com a roda acima do solo.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Busa cosseno, que valeria 168 em t = 0, mas o gráfico começa em 88.
  • Cconfunde amplitude com altura do centro e troca os valores 88 e 168; daria f(0) = 256.
  • Dsoma seno e cosseno com coeficientes que são alturas, sem termo constante; f(0) = 88 por acaso, mas o máximo não é 168.
  • Etambém mistura seno e cosseno sem termo constante, e f(0) = 168, contrariando o gráfico.

Assunto: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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