Questão 156 do ENEM 2018

Question

Um rapaz estuda em uma escola que fica longe de sua casa, e por isso precisa utilizar o transporte público. Como é muito observador, todos os dias ele anota a hora exata (sem considerar os segundos) em que o ônibus passa pelo ponto de espera. Também notou que nunca consegue chegar ao ponto de ônibus antes de 6 h 15 min da manhã. Analisando os dados coletados durante o mês de fevereiro, o qual teve 21 dias letivos, ele concluiu que 6 h 21 min foi o que mais se repetiu, e que a mediana do conjunto de dados é 6 h 22 min.

A probabilidade de que, em algum dos dias letivos de fevereiro, esse rapaz tenha apanhado o ônibus antes de 6 h 21 min da manhã é, no máximo,

A
\dfrac{4}{21}
B
\dfrac{5}{21}
C
\dfrac{6}{21}
D
\dfrac{7}{21}
E
\dfrac{8}{21}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 156 do ENEM 2018

2º dia · Matemática · H29 · Matemática: Mediana e moda

Um rapaz estuda em uma escola que fica longe de sua casa, e por isso precisa utilizar o transporte público. Como é muito observador, todos os dias ele anota a hora exata (sem considerar os segundos) em que o ônibus passa pelo ponto de espera. Também notou que nunca consegue chegar ao ponto de ônibus antes de 6 h 15 min da manhã. Analisando os dados coletados durante o mês de fevereiro, o qual teve 21 dias letivos, ele concluiu que 6 h 21 min foi o que mais se repetiu, e que a mediana do conjunto de dados é 6 h 22 min.

A probabilidade de que, em algum dos dias letivos de fevereiro, esse rapaz tenha apanhado o ônibus antes de 6 h 21 min da manhã é, no máximo,

A
\dfrac{4}{21}
B
\dfrac{5}{21}
C
\dfrac{6}{21}
D
\dfrac{7}{21}
E
\dfrac{8}{21}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

São 21 dados. Como 21 é ímpar, a mediana é o 11º valor da lista ordenada, e ela vale 6 h 22 min.

Assim, do 11º ao 21º valor, todos são \geq 6 h 22 min (são 11 dados). Restam 10 dados nas posições 1 a 10, que são \leq 6 h 22 min.

A moda é 6 h 21 min, ou seja, esse horário se repete mais que qualquer outro. Queremos o máximo de dias com ônibus antes de 6 h 21 min, então precisamos organizar os 10 dados iniciais.

Os dados das posições 1 a 10 podem ser 6 h 21 min ou menores; o 11º é 6 h 22 min.
Para haver o maior número possível de horários antes de 6 h 21 min, devemos usar o mínimo de vezes o 6 h 21 min, mas ele precisa ser a moda.
O 6 h 22 min já aparece pelo menos uma vez (posição 11). Se 6 h 21 min aparecer k vezes, precisa ser mais frequente que qualquer outro horário. Os horários antes de 6 h 21 min podem ser todos distintos (de 6 h 15 min a 6 h 20 min há só 6 valores possíveis, então cada um pode aparecer até k-1 vezes).
Com k=3: cada um dos 6 horários (6 h 15 a 6 h 20) pode aparecer até 2 vezes, dando até 12 posições, mais que as 7 disponíveis. Então cabem 7 dados antes de 6 h 21 min, e o 6 h 21 min ocupa 3 posições: 7+3=10.
Com k=2: cada horário anterior aparece no máximo 1 vez, ou seja, no máximo 6 dados; então 6+2=8<10, faltaria completar as posições. Não fecha, pois o 6 h 22 min também não pode passar de 1 vez, e ele já ocupa a posição 11 e outras seguintes. Logo o mínimo é k=3, e o máximo é 7 dados antes de 6 h 21 min.

Probabilidade máxima: \dfrac{7}{21}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASubestima o máximo de dias antes de 6 h 21 min; usa mais repetições da moda do que o necessário.
BConsidera só 5 dias antes de 6 h 21 min, ignorando que a moda pode aparecer apenas 3 vezes.
CConsidera só 6 dias, esquecendo que os horários anteriores podem se repetir até 2 vezes.
EIgnora que a moda precisa aparecer ao menos 3 vezes entre as 10 primeiras posições.

Assunto: Mediana e moda.

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Questão 156 no caderno Azul do ENEM 2018

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