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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 149 do ENEM 2017

2º dia · Matemática · H29 · Matemática: Probabilidade condicional

A figura ilustra uma partida de Campo Minado, o jogo presente em praticamente todo computador pessoal. Quatro quadrados em um tabuleiro 16 \times 16 foram abertos, e os números em suas faces indicam quantos dos seus 8 vizinhos contêm minas (a serem evitadas). O número 40 no canto inferior direito é o número total de minas no tabuleiro, cujas posições foram escolhidas ao acaso, de forma uniforme, antes de se abrir qualquer quadrado.

Interface do jogo Campo Minado com tabuleiro de 16 por 16 quadrados. Quatro posições mostram números: um número 2 com a letra P no quadrado imediatamente abaixo; um número 1 com a letra Q no quadrado imediatamente abaixo; um número 4 com a letra S no quadrado imediatamente abaixo; e um número 3 com a letra T no quadrado imediatamente abaixo. A letra R está em um quadrado não adjacente aos abertos. Na barra inferior, há a marcação de tempo 109 à esquerda e o total de 40 minas à direita.

Em sua próxima jogada, o jogador deve escolher dentre os quadrados marcados com as letras P, Q, R, S e T um para abrir, sendo que deve escolher aquele com a menor probabilidade de conter uma mina.

O jogador deverá abrir o quadrado marcado com a letra

  1. A
    P.
  2. B
    Q.
  3. C
    R.
  4. D
    S.
  5. E
    T.
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Resolução comentada

Cada quadrado aberto com número indica quantas minas há entre seus vizinhos. Precisamos ver quantos vizinhos fechados cada número tem e como P, Q, S, T se relacionam com eles.

Lendo a figura (linhas de cima para baixo):

  • O 2 está na linha 4, coluna 2, e P fica logo abaixo. O 2 está perto da borda esquerda: tem 5 vizinhos (colunas 1 a 3, linhas 3 a 5, sem contar ele mesmo, são 8 vizinhos, todos fechados). Então são 2 minas entre 8 vizinhos, e P é um deles: probabilidade \frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
  • O 1 está na linha 4, coluna 6, e Q fica logo abaixo. Ele tem 8 vizinhos fechados com 1 mina: probabilidade \frac{1}{8}.
  • O 4 está na linha 15, coluna 4, e S fica logo abaixo. Ele está na penúltima linha, e a linha 16 existe, então tem 8 vizinhos: \frac{4}{8}=\frac{1}{2}.
  • O 3 está na linha 13, coluna 13, e T fica abaixo. Com 8 vizinhos: \frac{3}{8}.
  • R não é vizinho de nenhum número aberto. Sobram as minas fora das vizinhanças: as vizinhanças somam 2+1+4+3=10 minas em 32 quadrados (as vizinhanças não se sobrepõem, e os 4 abertos não têm minas). Restam 40-10=30 minas nos 256-4-32=220 quadrados restantes: probabilidade \frac{30}{220}=\frac{3}{22}\approx 0{,}136.

Comparando:

P=0{,}25; Q=0{,}125; R\approx0{,}136; S=0{,}5; T=0{,}375.

A menor é a de Q, com 0{,}125<0{,}136.

Alternativa B.

Pegadinha: R engana por estar longe dos números e parecer seguro, mas sua probabilidade (≈0,136) é ligeiramente maior que a de Q (0,125).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AP tem probabilidade 2/8 = 0,25, pois o 2 indica duas minas entre oito vizinhos.
  • CR tem cerca de 3/22 ≈ 0,136, um pouco maior que 1/8 de Q; não basta usar 40/256 sem descontar as minas já indicadas.
  • DS tem 4/8 = 0,5, a maior probabilidade de todas.
  • ET tem 3/8 = 0,375, maior que a de Q.

Assunto: Probabilidade condicional.

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