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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 180 do ENEM 2016

2º dia · Matemática · H19 · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por

M = \frac{2}{3} \log \left(\frac{E}{E_0}\right),

sendo E a energia, em \text{kWh}, liberada pelo terremoto e E_0 uma constante real positiva. Considere que E_1 e E_2 representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente.

Disponível em: www.terra.com.br. Acesso em: 15 ago. 2013 (adaptado).

Qual a relação entre E_1 e E_2?

  1. A
    E_1 = E_2 + 2
  2. B
    E_1 = 10^2 \cdot E_2
  3. C
    E_1 = 10^3 \cdot E_2
  4. D
    E_1 = 10^{\frac{9}{7}} \cdot E_2
  5. E
    E_1 = \frac{9}{7} \cdot E_2
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Resolução comentada

A fórmula relaciona a magnitude M ao logaritmo da energia. Para achar a relação entre as duas energias, isolamos \log(E/E_0) em cada terremoto e depois subtraímos.

  1. Isolando o logaritmo: M = \frac{2}{3}\log\left(\frac{E}{E_0}\right) \Rightarrow \log\left(\frac{E}{E_0}\right) = \frac{3}{2}M.

  2. Japão (M = 9): \log\left(\frac{E_1}{E_0}\right) = \frac{3}{2}\cdot 9 = 13{,}5.

  3. China (M = 7): \log\left(\frac{E_2}{E_0}\right) = \frac{3}{2}\cdot 7 = 10{,}5.

  4. Subtraindo, e usando \log a - \log b = \log\frac{a}{b}:

\log\left(\frac{E_1}{E_0}\right) - \log\left(\frac{E_2}{E_0}\right) = \log\left(\frac{E_1}{E_2}\right) = 13{,}5 - 10{,}5 = 3.
  1. Pela definição de logaritmo, \frac{E_1}{E_2} = 10^3, ou seja, E_1 = 10^3\cdot E_2.

O terremoto do Japão liberou 1000 vezes mais energia que o da China. Cada 1 ponto de diferença na magnitude equivale a 10^{3/2} vezes mais energia, e 2 pontos dão 10^{3}.

Alternativa C.

Pegadinha: As alternativas B, D e E exploram erros comuns: usar 2 (a diferença de magnitudes) como expoente sem o fator \frac{3}{2}, ou usar a razão \frac{9}{7} das magnitudes.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Atrata a relação como aditiva, mas a escala é logarítmica, então a relação é multiplicativa.
  • Busa a diferença de magnitude (2) como expoente, esquecendo o fator \frac{3}{2} que vem de isolar o logaritmo.
  • Dusa a razão entre as magnitudes \frac{9}{7} como expoente, sem subtrair os logaritmos.
  • Efaz a razão direta das magnitudes como se a energia fosse proporcional a M.

Assunto: Logaritmos e função logarítmica.

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