Questão 152 do ENEM 2016

Question

Um adolescente vai a um parque de diversões tendo, prioritariamente, o desejo de ir a um brinquedo que se encontra na área IV, dentre as áreas I, II, III, IV e V existentes. O esquema ilustra o mapa do parque, com a localização da entrada, das cinco áreas com os brinquedos disponíveis e dos possíveis caminhos para se chegar a cada área. O adolescente não tem conhecimento do mapa do parque e decide ir caminhando da entrada até chegar à área IV.

Mapa do parque com a Entrada e as áreas I, II, III, IV e V. Da entrada, o caminho se ramifica em percursos que levam às áreas V e IV, com ramificações para as áreas II e III; a área I liga-se à IV.

Suponha que relativamente a cada ramificação, as opções existentes de percurso pelos caminhos apresentem iguais probabilidades de escolha, que a caminhada foi feita escolhendo ao acaso os caminhos existentes e que, ao tomar um caminho que chegue a uma área distinta da IV, o adolescente necessariamente passa por ela ou retorna.

Nessas condições, a probabilidade de ele chegar à área IV sem passar por outras áreas e sem retornar é igual a

A
\dfrac{1}{96}
B
\dfrac{1}{64}
C
\dfrac{5}{24}
D
\dfrac{1}{4}
E
\dfrac{5}{12}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 152 do ENEM 2016

2º dia · Matemática · H28 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Um adolescente vai a um parque de diversões tendo, prioritariamente, o desejo de ir a um brinquedo que se encontra na área IV, dentre as áreas I, II, III, IV e V existentes. O esquema ilustra o mapa do parque, com a localização da entrada, das cinco áreas com os brinquedos disponíveis e dos possíveis caminhos para se chegar a cada área. O adolescente não tem conhecimento do mapa do parque e decide ir caminhando da entrada até chegar à área IV.

Mapa do parque com a Entrada e as áreas I, II, III, IV e V. Da entrada, o caminho se ramifica em percursos que levam às áreas V e IV, com ramificações para as áreas II e III; a área I liga-se à IV.

Suponha que relativamente a cada ramificação, as opções existentes de percurso pelos caminhos apresentem iguais probabilidades de escolha, que a caminhada foi feita escolhendo ao acaso os caminhos existentes e que, ao tomar um caminho que chegue a uma área distinta da IV, o adolescente necessariamente passa por ela ou retorna.

Nessas condições, a probabilidade de ele chegar à área IV sem passar por outras áreas e sem retornar é igual a

A
\dfrac{1}{96}
B
\dfrac{1}{64}
C
\dfrac{5}{24}
D
\dfrac{1}{4}
E
\dfrac{5}{12}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Para chegar à área IV sem passar por outra área nem retornar, o adolescente pode seguir por dois trajetos: o caminho que sai da entrada para cima ou o que sai para baixo. Como as escolhas em cada ramificação têm probabilidades iguais, calculamos a probabilidade de cada trajeto e depois as somamos.

Pelo caminho de cima, ele precisa escolhê-lo na entrada (\frac12), evitar o desvio para a área III (\frac12) e, no cruzamento seguinte, escolher a direção da área IV entre as três opções adiante: I, V ou IV (\frac13). Assim,

P_{\text{cima}}=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac13=\frac1{12}.

Pelo caminho de baixo, ele precisa escolhê-lo na entrada (\frac12), evitar o desvio para a área II (\frac12) e, na próxima ramificação, seguir para IV em vez de III (\frac12). Logo,

P_{\text{baixo}}=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18.

Como os dois trajetos são alternativas distintas, somamos suas probabilidades: \frac1{12}+\frac18=\frac2{24}+\frac3{24}=\frac5{24}.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana quem calcula as escolhas posteriores dos dois trajetos, mas esquece o fator \frac12 da escolha inicial.

Por que as outras alternativas estão erradas

AMultiplica as probabilidades dos dois trajetos, quando deveria somá-las.
BTrata seis escolhas binárias como se todas fossem necessárias para chegar à área IV.
DConsidera duas opções, em vez de três, no cruzamento do caminho de cima.
EDesconsidera a probabilidade de escolher cada caminho logo na entrada.

Assunto: Eventos sucessivos e distribuição binomial.

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Questão 152 no caderno Azul do ENEM 2016

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