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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 167 do ENEM 2014

2º dia · Matemática · H14 · Matemática: Cilindro

Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10\text{ mm} de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado.

Um medicamento é produzido em pílulas com 5\text{ mm} de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4\text{ mm}, e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas pílulas.

Use 3 como valor aproximado para \pi.

A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a

  1. A
    168.
  2. B
    304.
  3. C
    306.
  4. D
    378.
  5. E
    514.
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Resolução comentada

A pílula é um cilindro de altura 10\ \text{mm} mais duas semiesferas de mesmo raio, que juntas formam uma esfera completa. Então:

V = \pi r^2 h + \frac{4}{3}\pi r^3

Com \pi = 3 e h = 10:

  1. Raio 5\ \text{mm}: V_1 = 3\cdot 25\cdot 10 + \frac{4}{3}\cdot 3\cdot 125 = 750 + 500 = 1250\ \text{mm}^3.

  2. Raio 4\ \text{mm}: V_2 = 3\cdot 16\cdot 10 + \frac{4}{3}\cdot 3\cdot 64 = 480 + 256 = 736\ \text{mm}^3.

  3. Redução: V_1 - V_2 = 1250 - 736 = 514\ \text{mm}^3.

O comprimento do cilindro não muda; só o raio varia. Por isso a diferença é calculada com os dois volumes completos.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde à diferença dos volumes; resulta de erro de conta ou de considerar só parte da pílula.
  • BValor sem correspondência com a diferença correta; provável erro no volume das semiesferas.
  • CTambém não corresponde à diferença entre 1250 e 736; erro de cálculo em algum dos volumes.
  • DValor incorreto, sem relação com 1250-736; provável erro no volume do cilindro ou da esfera.

Assuntos: Cilindro, Esfera.

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