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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 143 do ENEM 2014

2º dia · Matemática · H20 · Matemática: Leitura e interpretação de gráficos

Para comemorar o aniversário de uma cidade, um artista projetou uma escultura transparente e oca, cujo formato foi inspirado em uma ampulheta. Ela é formada por três partes de mesma altura: duas são troncos de cone iguais e a outra é um cilindro. A figura é a vista frontal dessa escultura.

Vista frontal da escultura em forma de ampulheta: dois troncos de cone iguais, com as partes largas nas extremidades, unidos por um cilindro estreito no centro.

No topo da escultura foi ligada uma torneira que verte água, para dentro dela, com vazão constante.

O gráfico que expressa a altura (h) da água na escultura em função do tempo (t) decorrido é

  1. A
    Gráfico da altura h em função do tempo t, com eixos h vertical e t horizontal. Uma reta crescente parte da origem e chega ao canto superior direito; linhas tracejadas marcam divisões nos eixos.
  2. B
    Gráfico da altura h em função do tempo t, com eixos h vertical e t horizontal. A curva parte da origem, cresce inicialmente com inclinação decrescente e depois com inclinação crescente; linhas tracejadas marcam divisões nos eixos.
  3. C
    Gráfico da altura h em função do tempo t, com eixos h vertical e t horizontal. A curva parte da origem e cresce sempre com inclinação crescente; linhas tracejadas marcam divisões nos eixos.
  4. D
    Gráfico da altura h em função do tempo t, com eixos h vertical e t horizontal. A curva parte da origem, cresce com inclinação crescente, segue em trecho reto e termina com inclinação decrescente; linhas tracejadas marcam divisões nos eixos.
  5. E
    Gráfico da altura h em função do tempo t, com eixos h vertical e t horizontal. A curva parte da origem e cresce com inclinação decrescente, segue em trecho reto e termina com inclinação crescente; linhas tracejadas marcam divisões nos eixos.
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Resolução comentada

A vazão é constante, então o volume cresce de forma linear com o tempo. A altura h, porém, depende da área da seção transversal na altura da água: \frac{dV}{dt} = A\cdot\frac{dh}{dt}, logo \frac{dh}{dt} = \frac{\text{vazão}}{A}. Quanto maior a área, mais devagar a água sobe; quanto menor, mais rápido.

A água entra pelo topo, mas o recipiente é fechado e a água se acumula pelo fundo. Vamos ver as três partes de baixo para cima:

  1. Tronco de cone inferior: a base é larga e a seção vai estreitando. A área A diminui, então \frac{dh}{dt} aumenta. A curva sobe com inclinação crescente.
  2. Cilindro: a área é constante, então \frac{dh}{dt} é constante. O gráfico é um trecho reto.
  3. Tronco de cone superior: a seção vai alargando. A área A aumenta, então \frac{dh}{dt} diminui. A curva sobe com inclinação decrescente.

O gráfico deve ter, portanto: inclinação crescente, trecho reto e inclinação decrescente. Esse é o formato de "S" da figura da alternativa D.

Atenção: a alternativa E descreve o oposto, e seria a resposta se o enchimento fosse pensado de forma invertida, com inclinação decrescente no início.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem raciocina ao contrário: acha que seção larga faz a altura subir mais rápido, quando na verdade sobe mais devagar.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AReta indica altura proporcional ao tempo, o que só ocorreria com seção de área constante em todo o recipiente.
  • BNão tem trecho reto do cilindro e começa com inclinação decrescente, como se a base fosse estreita.
  • CInclinação sempre crescente, ignorando o cilindro e o alargamento do tronco superior.
  • EInverte o comportamento: inclinação decrescente no início e crescente no fim, o oposto do que ocorre com as áreas.

Assuntos: Leitura e interpretação de gráficos, Cone e tronco de cone.

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